Кругове поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кругове поле (поле поділу кола) — поле що одержується приєднанням до поля раціональних чисел первісного кореня з одиниці степеня n, де n — деяке натуральне число. Іноді (локальним) круговим полем називають також поле виду , де — поле раціональних р-адичних чисел. Оскільки при непарному n, звичайно вважається, що .

Тоді різним n відповідають неізоморфні поля .

Кругові поля влаштовані «достатньо просто» і тому дають зручний експериментальний матеріал для створення загальних понять теорії чисел. Наприклад, поняття цілого алгебраїчного числа виникли спочатку при розгляді кругових полів.

Властивості[ред.ред. код]

  • Кругове поле є полем розкладу многочлена
  • Кругові поля природно виникають в задачі про поділ кола — поділ кола на n рівних частин еквівалентний побудові на комплексній площині первісного кореня .
  • Місце кругових полів серед всіх полів алгебраїчних чисел визначає теорема Кронекера — Вебера, що стверджує, що скінченне розширення K/Q є абелевим тоді і тільки тоді, коли для деякого n. Аналогічне твердження виконується і для локальних кругових полів.
  • Поле є абелевим розширенням поля з групою Галуа
де — мультиплікативна група кільця лишків по модулю n.
  • Степінь розширення рівний φ(n), де φ(n) — функція Ейлера.
  • Поле є цілком уявним і має степінь 2 над своїм максимальним цілком дійсним підполем
  • Числа утворюють цілочисельний базис поля .
  • Дискримінант поля рівний:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Круговое поле. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1982
  • Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
  • Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
  • Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4