Кут

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Символ кута
Побудова кута величиною 55° з використанням транспортира

Кут плоский (площинний) — геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), які виходять з однієї точки, що називається вершиною кута[1].

Ряд практичних задач приводить до доцільності розглядати кут як фігуру, що утворюється при обертанні фіксованого променя навколо точки О (з якої виходить промінь) до заданого положення. У цьому випадку кут є мірою відстані між двома променями, що виходять з однієї точки[2] або мірою повороту променя. Таке визначення дозволяє узагальнити поняття кута: залежно від напрямку обертання розрізняють додатні й від'ємні кути, розглядають кути, більші від розгорнутого і повного, кути, рівні нулю тощо. В тригонометрії це дозволяє вивчати тригонометричні функції для будь-якого значення аргументу.

Поняття кута узагальнюється також на різні об'єкти, що розглядаються в стереометрії (див. нижче).

Позначення[ред.ред. код]

Позначення кута

Для позначення кутів в планіметрії найчастіше використовуються три великі латинські літери, середня з яких відповідає вершині, а дві інші разом із вершиною задають промені. Для того, щоб відрізнити позначення кута від позначення трикутника перед трьома літерами ставиться знак [3]. Наприклад, означає кут з вершиною в точці B і променями BA та BC. У зв'язку з вибором в математиці напрямку відліку кутів проти годинникової стрілки, точки, що лежать на сторонах в позначенні кута прийнято перераховувати також у напрямі проти стрілки годинника. Кут можна позначати також однією великою латинською літерою, що відповідає його вершині в тому випадку, коли це не призводить до неоднозначності.

Для зручності оперування з кутами деякі кути на рисунках та кресленнях і в формулах позначають малими грецькими літерами (α, β, γ, θ, φ тощо), перед якими знак кута не ставиться. Для позначення тілесних кутів (див. нижче) найчастіше використовують літери ω та Ω.

На схемах кути позначаються невеликими одинарними, подвійними або потрійними дужками, що проходять по внутрішній області кута з центрами у вершині кута. Рівність кутів може відзначатися однаковою кратністю дужок або однаковою кількістю поперечних штрихів на дужці. Якщо необхідно вказати напрямок відліку кута, він відзначається стрілкою на дужці. Прямі кути відзначаються не дужками, а двома сполученими рівними відрізками, розташованими таким чином, що разом зі сторонами вони утворюють невеликий квадрат, одна з вершин якого збігається з вершиною кута.

Конгруентність[ред.ред. код]

Для порівняння кутів використовується поняття конгруентності, що є аналогом поняття рівності для чисел. Два кути називаються конгруентними, якщо їх можна сумістити за допомогою операцій ізометрії: переносу, обертання і дзеркального відбиття, тобто таких операцій, при яких не змінюється віддаль між будь-якими точками на площині.

Для порівняння кутів необхідно сумістити їхні вершини, й один із двох променів для кожного кута. Якщо при цьому другі промені теж накладаються один на одного, то ці кути конгруентні. Якщо при накладанні вершин і одного з променів простір, обмежений сторонами кута α повністю поміщається в просторі, обмеженому сторонами кута β, то кут α менший від кута β, і, відповідно, кут β більший від кута α.

Нестрого й неформально конгруентні кути називають рівними.

Вимірювання[ред.ред. код]

Мірою кута є відношення довжини дуги S до радіуса r
Ілюстрація від'ємних кутів та кутів, більших від повного

Одиниці вимірювання кутів у СІ[ред.ред. код]

Докладніше: Радіан

У міжнародній системі одиниць СІ використовується спосіб вираження величини кута, при якому кут — безрозмірна величина. Цей спосіб вимірювання базується на означенні радіана[4]. При цьому величина кута за означенням дорівнює відношенню довжини дуги S кола з центром у вершині кута і будь-яким радіусом до величини цього радіуса r. Це відношення не залежить від вибору радіуса. Кут величиною 1 радіан визначається як такий, при якому відношення довжини дуги до радіуса дорівнює одиниці, тобто довжина дуги дорівнює радіусу. Безрозмірні величини кутів зручно використовувати у тригонометрії.

Позасистемні одиниці вимірювання кутів[ред.ред. код]

Традиційно кути вимірюють у кутових градусах, мінутах і секундах. При цьому розгорнутий кут ділиться на 180 градусів, кожен із градусів ділиться на 60 мінут, кожна з мінут на 60 секунд. Градуси позначаються значком °, наприклад, 37°, мінути штрихами, а секунди подвійними штрихами.

Кут можна розглядати і як фігуру, утворену обертанням променя, починаючи з певного початкового положення. Тоді, залежно від напрямку обертання, величина кута може набувати як додатних, так і від'ємних значень. За домовленістю вважається, що при обертанні променя проти годинникової стрілки величина кута зростає від нуля до додатних значень. При обертанні за годинниковою стрілкою величина кута зменшується, набуваючи від'ємних значень.

Такий підхід дозволяє також розглядати значення кутів, більші від повного кута, якщо промінь здійснить більше від одного оберту. Це зручно в тригонометрії та фізиці.

Шкала компаса
Позначення кута нахилу дороги на дорожньому знаку

У морській справі кути вимірюються у румбах. 1 румб дорівнює 132 від повного кола (360 градусів) компаса, тобто 11,25 градуса чи 11°15′.

В астрономії кут прямого піднесення і годинний кут в екваторіальній системі координат вимірюються в годинах, мінутах і секундах (що становлять відповідно 124, 11440 та 186400 від повного кола); це пов'язане з кутовою швидкістю осьового обертання Землі, яка робить приблизно 1 оберт за 24 години[5]. Отже, за одну годину (хвилину, секунду) часу небесна сфера «повертається» приблизно на 1 годину (хвилину, секунду) у кутовій мірі. Інші кутові величини в астрономії виражаються зазвичай у градусах, мінутах та секундах дуги. Слід зазначити щоб уникнути плутанини, що одна секунда (мінута) прямого піднесення дорівнює 15 секундам (мінутам) дуги.

В артилерії та збройовій справі використовуються також тисячні (1/1000 частина радіана) та поділки кутоміра.

У деяких контекстах, таких як ідентифікація точки в полярних координатах чи опис орієнтації об'єкта у двох вимірах відносно його базової орієнтації, кути, що відрізняються на ціле число повних обертів, фактично є еквівалентними. Наприклад, у таких випадках можна вважати еквівалентними кути 15° та 360015° (= 15° + 360°×1000). В інших контекстах, таких як ідентифікація точки на спіральній кривій або опис сукупного обертання об'єкта у двох вимірах відносно його початкової орієнтації, кути, що відрізняються на ненульове ціле число повних обертів, не є еквівалентними.

Деякі плоскі кути мають спеціальні назви. Крім вищезгаданих одиниць вимірювання (радіан, румб, градус тощо), слід згадати:

  • квадрант — прямий кут, 14 кола);
  • секстант — 16 кола, величина шкали приладу для вимірювання кутів — секстанта;
  • октант — 18 кола; крім того, в стереометрії октантом називають тригранний кут, утворений трьома взаємно перпендикулярними площинами.

Малі кути (наприклад, кут похилу поверхні) іноді вимірюють не власне кутовою мірою, а її тангенсом (або синусом), тобто відношенням піднесення по нахилені площині до проекції на горизонталь пройденого по ній шляху (або до самого цього шляху). Для випадку малих кутів похилу це відношення приблизно дорівнює куту, вираженому в радіанах (tg α ≈ sin α ≈ α при α << 1). При цьому це відношення виражається зазвичай у відсотках або проміле. Наприклад, похил дороги у 10 % означає, що на кожні 100 метрів шляху (у проекції на горизонталь) дорога піднімається на 10 м; кут до горизонту дорівнює arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радіана.

Напрям відліку кутів[ред.ред. код]

У математиці та фізиці, зазвичай, додатнім напрямом відліку кутів вважається напрям проти стрілки годинника. Переважно, кут починають вимірювати від променя, початок якого збігається з центром системи координат (СК), а напрям — з додатним напрямом осі абсцис.

Для визначення напряму відліку кутів у тривимірному просторі використовують правило гвинта.

В географії та геодезії за початок відліку кутів по азимуту прийнято напрям «на північ»; кут відлічується за годинниковою стрілкою. Отже, напряму «на схід» відповідає азимутальний кут 90°, «на південь» — 180°, «на захід» — 270°. У військовій справі (артилерії) напрям відліку кутів є аналогічним, але відлік ведуть у тисячних або поділках кутоміра.

Прилади для вимірювання кутів[ред.ред. код]

Кутоміри

Прилади для вимірювання кутів називаються кутомірами. Найпопулярніший із них транспортир. Транспортир можна використовувати як для вимірювання, так і для побудови кута певної величини.

Вимірювання кутів є важливою практичною задачею в багатьох областях науки і техніки: в астрономії, навігації, в будівництві та гірництві тощо.

За допомогою тригонометрії вимірювання кутів дозволяє визначати віддалі між далекими об'єктами. Для задоволення потреби вимірювання кутів розроблено багато високоточних інструментів: теодолітів, гоніометрів, секстантів і т. д.

Класифікація та різновиди плоских кутів[ред.ред. код]

За величиною[ред.ред. код]

Різновиди кутів за величиною
Розгорнутий кут
Прямий кут
Гострий кут
Тупий кут
Неопуклий кут
Повний кут

Залежно від величини кути поділяються на декілька категорій.

  • Розгорнутим кутом називають кут, обидва промені якого лежать на одній прямій, по різні боки від вершини. Величина такого кута приймається рівною 180° і дорівнює за означенням радіана радіан.
  • Прямий кут дорівнює половині розгорнутого кута. Прямі кути утворені взаємно перпендикулярними променями. Величина прямого кута становить 90° або радіан.
  • Гострими кутами називають кути, менші за прямі. Величина гострих кутів лежить у проміжку від 0° до 90°, або в радіанах від 0 до
  • Тупі кути більші від прямих, але менші від розгорнутих, їхня величина лежить у проміжку від 90° до 180°, або від до .
  • Неопуклі кути (більше 180°, але менше 360°)
  • Кут, вдвічі більший від розгорнутого, називається повним. Його величина у радіанах дорівнює відношенню довжини кола до радіуса, що становить . У градусах це 360°.

Вертикальні та прилеглі кути[ред.ред. код]

Вертикальні кути та прилеглі кути і їх часткові випадки
Прилеглі кути. Величина кута, утвореного зовнішніми (не спільними) їхніми сторонами, дорівнює сумі величин їх самих (α + β)
Кути α і β є вертикальними. Кути α та γ, а також β та γ, складають пари суміжних
Комплементарні кути α і β взаємно доповнюють один одного до прямого кута (α + β = 90°)
Суміжні кути: на рисунку гострий (α) і тупий (β) — утворюють розгорнутий кут (α + β)
Спряжені кути — утворюють повний кут (360°); наведено частковий приклад: 150° + 210° = 360°

Два кути, які мають спільну сторону, називаються прилеглими.

При перетині двох прямих утворюються чотири нерозгорнуті кути: дві пари вертикальних кутів, чотири пари суміжних кутів. Протилежні між собою вертикальні кути конгруентні. Суміжні кути разом утворюють розгорнутий кут, тому їхня сума дорівнює 180°, або в радіанах — .

Два кути, які в сумі утворюють прямий кут, називаються комплементарними. Сума комплементарних кутів дорівнює 90°, або, в радіанах, . Обидва кути є гострими.

Центральний та вписаний кути[ред.ред. код]

Вписаний кут θ дорівнює половині величини центрального кута 2θ, що спирається основою на ту ж дугу (рожевого кольору). Тобто кут θ не змінює своєї величини при переміщенні вершини уздовж кола (зелений та блакитний кути). Зовнішній кут для вписаного з іншого боку кута кола має ту ж величину θ (коричневого кольору)

Будь-які конкретній дузі кола можна зіставити єдиний центральний і безліч вписаних кутів.

Центральний і вписаний кут
Центральний кут θ
Вписаний кут α
  • Центральний кут — кут з вершиною у центрі кола. Величина центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, розташованої між сторонами цього кута.
  • Вписаний кут — кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. Величина вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, обмеженої його сторонами. Усі вписані кути, що спираються на одну і ту ж дугу, є однаковими.
  • Величина вписаного кута дорівнює половині величини центрального кута, що спирається біля основи на колі на ту ж дугу (див. рис.).

Бісектриса кута[ред.ред. код]

Бісектриса кута (червоний промінь)

Бісектрисою (від лат. bis — «двічі» та лат. seco — «розтинаю») кута називається промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута (і, навпаки, будь-яка точка внутрішньої області кута, що є рівновіддаленою від сторін кута, лежить на його бісектрисі).

Бісектриси вертикальних кутів є продовженням одна одної. Бісектриси суміжних кутів є взаємно перпендикулярними.

Кути у многокутниках[ред.ред. код]

Ілюстрація до теореми про зовнішній кут трикутника

Теорема про суму внутрішніх кутів многокутника[ред.ред. код]

Теорема про суму внутрішніх кутів многокутника: Сума внутрішніх кутів αi довільного n-кутника без самоперетинів дорівнює

Так, наприклад,:

  • сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°;
  • чотирикутника 360°;
  • п'ятикутника 540° тощо.

Теорема про зовнішній кут трикутника[ред.ред. код]

Теорема про зовнішній кут трикутника: Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох інших кутів трикутника, не суміжних з цим внутрішнім кутом. (див. рис.):

Кути у стереометрії[ред.ред. код]

Поняття кута використовується також у стереометрії, тобто в геометрії тривимірного простору, в якій вводяться поняття двогранного, тригранного і т. д. та тілесного кута.

Двогранний кут — фігура, утворена двома півплощинами, обмеженими спільною прямою. Півплощини, які утворюють тілесний називають гранями, а пряму, що їх обмежує, ребром. Для визначення величини двогранного кута використовується плоский кут на площині, перпендикулярній до площини ребра двогранного кута.

Тригранний кут — це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами зі спільною вершиною і попарно загальними сторонами, що не лежать в одній площині. Спільна вершина цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути при вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут.

Багаторганний кут — частина простору, обмежена декількома площинами, що перетинаються в одній точці.

Тілесний кут або просторовий кут[4] — частина простору, яка є об'єднанням усіх променів, що виходять з деякої точки (вершини кута) і перетинають деяку поверхню (яка називається поверхнею, що стягує даний тілесний кут). Тілесний кут задається вершиною і незамкненою поверхнею. Може розглядатись як узагальнення поняття плоского кута на випадок тривимірного простору. Для вимірювання тілесних кутів використовується спеціальна одиниця стерадіан. Повна сфера має тілесний кут стерадіан. Багатогранні кути (у тому числі і тригранний) є частковим випадком тілесного кута.

За кут між двома кривими, що перетинаються у певній точці, у якій кожна з кривих має визначену дотичну, приймають кут між цими дотичними. Поняття кута узагальнюється також на інші об'єкти, що розглядаються у стереометрії. Так, під кутом між прямою та площиною у просторі мають на увазі кут між цією прямою та її проекцією на цю площину. Під кутом між двома мимобіжними прямими — розуміють кут між паралельними до них прямими проведеними через одну і ту ж точку.

Спеціальні кути[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. «Кут» в УРЕ
  2. 4.1 Фізичні величини, пов'язані з простором та часом / Нормалізована українська науково-технічна термінологія.
  3. Знак вперше був запропонований у 1634 році французьким математиком П'єром Ерігоном (фр. Pierre Hérigone).
  4. а б ДСТУ 3651.1-97 Метрологія. Одиниці фізичних величин. Похідні одиниці фізичних величин Міжнародної системи одиниць та позасистемні одиниці. Основні поняття, назви та позначення.
  5. В дійсності істинний період обертання Землі відносно зірок приблизно є на 4 хвилини коротшим, ніж 24 години, див. Зоряний час.

Джерела[ред.ред. код]

  • Істер О. С. Геометрія: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл. / О. С. Істер. — К. : Освіта, 2007. — 159 с.
  • Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія [Текст]: підруч. для 7-9 кл. серед. шк / О. В. Погорєлов.. — 4-те вид. — К. : Освіта, 2000. — 223 с. — ISBN 966-04-0465-4.
  • Бурда М. І. Геометрія [Текст]: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл. : академ. рівень / М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. — К. : Освіта, 2013. — 175 с. — ISBN 978-617-656-018-0.
  • Біляніна О. Я. Геометрія. 10 клас. Академічний рівень [Текст]: підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / О. Я. Біляніна, Г. І. Білянін, В. О. Швець. — 2-ге вид. — К. : Генеза, 2014. — 253 с. — ISBN 978-966-11-0007-6.
  • Планіметрія [Текст]: міні-підручник / Роганін О. М., Титаренко О. М.. — Харків : Торсінг Плюс, 2014. — 7 с. — ISBN 978-966-404-512-1.
  • Кушнир И. А. Геометрия: теоремы и задачи [Текст]: учебное пособие. Т. 1. Планиметрия / И. А. Кушнир. — К. : Астарта, 1996. — 475 с.
  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : Наука, 1966. — 424 с.
  • Чертов А. Г. Физические величины. — М. : Высшая школа, 1990. — 336 с.

Посилання[ред.ред. код]