Кут

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Символ кута

Кут плоский — геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), які виходять з одної точки, що називається вершиною кута.

Ряд практичних задач приводить до доцільності розглядати кут як фігуру, що утворюється при обертанні фіксованого променя навколо точки О (з якої виходить промінь) до заданого положення. У цьому випадку кут є мірою повороту променя. Таке визначення дозволяє узагальнити поняття кута: залежно від напрямку обертання розрізняють додатні й від'ємні кути, розглядають кути, більші від розгорнутого і повного, кути, рівні нулю тощо. В тригонометрії це дозволяє вивчати тригонометричні функції для будь-якого значення аргументу.

Поняття кута узагальнюється також на різні об'єкти, що розглядаються в стереометрії.

Позначення[ред.ред. код]

Позначення кута

Для позначення кутів в планіметрії найчастіше використовуються три великі латинські літери, середня з яких відповідає вершині, а дві інші разом із вершиною задають промені. Для того, що відрізнити позначення кута від позначення трикутника перед трьома літерами ставиться знак  \angle . Наприклад, \angle \text{ABC} означає кут з вершиною в точці B і променями BA та BC. Кут можна позначати також однією великою латинською літерою, що відповідає його вершині в тому випадку, коли це не призводить до неоднозначності.

Для зручності оперування з кутами деякі кути на рисунках та кресленнях і в формулах позначають малими грецькими літерами, перед якими знак кута не ставиться.

Конгруентність[ред.ред. код]

Для порівняння кутів викоритовується поняття конгруентності, що є аналогом поняття рівності для чисел. Два кути називаються конгруентними, якщо їх можна сумістити за допомогою операцій ізометрії: переносу, обертання і дзеркального відбиття, тобто таких операцій, при яких не змінюється віддаль між будь-якими точками на площині.

Для порівняння кутів необхідно сумістити їхні вершини, й один із двох променів для кожного кута. Якщо при цьому другі промені теж накладаються один на одного, то ці кути конгруентні. Якщо при накладанні вершин і одного з променів простір, обмежений сторонами кута α повністю поміщається в простірі, обмеженому сторонами кута β, то кут α менший від кута β, і, відповідно, кут β більший від кута α.

Нестрого й неформально конгруентні кути називають рівними.

Вимірювання[ред.ред. код]

Мірою кута є відношення довжини дуги S до радіуса r
Ілюстрація від'ємних кутів та кутів, більших від повного

Традиційно кути вимірюють у градусах, хвилинах і секундах. При цьому розгорнутий кут ділиться на 180 градусів, кожен із градусів ділиться на 60 мінут, кожна з мінут на 60 секунд. Градуси позначаються значком °, наприклад, 37°, мінути штрихами, а секунди подвійними штрихами.

У міжнародній системі одиниць СІ використовується інший спосіб вираження величини кута, при якому кут - безрозмірна величина. Цей спосіб вимірювання базується на означенні радіана. При цьому величина кута за означнням дорівнює відношенню довжини дуги кола з центром у вершині кута і будь-яким радіусом до радіуса. Це відношення не залежить від вибору радіуса. Кут величиною 1 радіан визначається як такий, при якому відношення довжини дуги до радіуса дорівнює одиниці, тобто довжина дуги дорівнює радіусу. Безрозмірні величини кутів зручно використовувати у тригонометрії.

Кут можна розглядати як фігуру, утоворену обертанням променя, починаючи з певного початкового положення. Тоді, в залежності від напрямку обертання, величина кута може приймати як додатні, так і від'ємні значення. За домовленістю вважається, що при обертанні променя проти годинникової стрілки величина кута збільшується від нуля до додатніх значень. При обертанні за годинниковою стрілкою величина кута зменшується, приймаючи від'ємні значення.

Такий підхід дозволяє також розглядати значення кутів, більші від повного кута, якщо промінь здійснює більше одного оберту. Це зручно в тригонометрії та фізиці.

Прилади для вимірювання кутів називаються кутомірами. Найпопулярніший із низ транспортир. Транспортир можна використовувати також для побудови кута певної величини. Вимірювання кутів є важливою практичною задачею в багатьох областях науки і техніки: в астромномії, навігації, в будівництві та гірництві тощо. За допомогою тригонометрії вимірювання кутів дозвляє отримати віддалі між далекими об'єктами. Для задоволення потреби вимірювання кутів розроблено багато високоточних інструментів: теодолітів, гоніометрів, секстантів і т.д.

Класифікація[ред.ред. код]

Кути \alpha та \beta вертикальні. Кути \alpha та \gamma, а також \beta та \gamma, складають пари суміжних
Комплементарні кути

Залежно від величини кути поділяються на кілька категорій.

  • Розгорнутим кутом називають кут, обидва промені якого лежать на одній прямій, по різні боки від вершини. Величина такого кута приймається рівною 180° і дорівнює за означенням радіана \pi радіан.
  • Прямий кут дорівнює половині розгорнутого кута. Прямі кути утворені взаємно перпендикулярними променями. Величина прямого кута становить 90° або \pi/2 радіан.
  • Гострими кутами називають кути, менші за прямі. Величина гострих кутів лежить у проміжку від 0° до 90°, або в радіанах від 0 до \pi/2
  • Тупі кути більші від прямих, але менші від розгорнутих, їхня величина лежить у проміжку від 90° до 180°, або від \pi/2 до \pi.
  • Кут, вдвічі більший від розгорнутого, називається повним. Його величина у радіанах дорівнює відношенню довжини кола до радіуса, що становить 2\pi. У градусах це 360°.

Два кути, які мають спільну сторону, називаються прилеглими.

При перетині двох прямих утворюються чотири нерозгорнуті кути: дві пари вертикальних кутів, чотири пари суміжних кутів. Протилежні між собою вертикальні кути конгруентні. Суміжні кути разом утворюють розгорнутий кут, тому їхня сума дорівнює 180°, або в радіанах — \pi.

Два кути, які в сумі утворюють прямий кут, називаються комплементарними. Сума комплементарних кутів дорівнює 90°, або, в радіанах, \pi/2.

Стереометрія[ред.ред. код]

Двогранний кут
Ілюстрація тілесного кута

Поняття кута використовується також у стереометрії, тобто в геометрії тривимірного простору, в якій вводяться поняття двогранного і тілесного кута.

Двогранний кут — фігура, утворена двома півплощинами, обмеженими спільною прямою. Півплощини, які утворюють тілесний називають гранями, а пряму, що їх обмежує, ребром. Для визначення величини двогранного кута використовується плоский кут на площині, перпендилярній до площини ребра двогранного кута.

Тілесний кут задається вершиною і незамкненою поверхнею. Це частина простору, обмежена променями, що з'єднують вершину з поверхнею. Для вимірювавання тілесних кутів використовується спеціальна одиниця стерадіан. Повний тілесний кут дорівнює  4 \pi стерадіан.

Спеціальні кути[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]