Кільце головних ідеалів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце головних ідеалівасоціативне кільце R з одиницею, в якому всі ліві і праві ідеали є головними, тобто мають вигляд Ra і aR, відповідно, де . Кільце головних ідеалів без дільників нуля називається областю головних ідеалів.

Приклади[ред.ред. код]

  • Кільце цілих чисел;
  • Кільце многочленів F[х] над полем F;
  • Довільне евклідове кільце є областю головних ідеалів. Зворотне твердження невірне. Наприклад кільце є областю головних ідеалів але не є евклідовим кільцем.

Властивості[ред.ред. код]

Елементи (а, b) і [а, b] єдині з точністю до оборотного правого множника.
  • Область головних ідеалів є областю з однозначним розкладом на множники.
  • Двосторонні ідеали області головних ідеалів утворюють щодо множення вільну комутативну напівгрупу з нулем і одиницею (породжуючими елементами цієї напівгрупи будуть максимальні ідеали кільця).
  • Довільне кільце головних ідеалів є кільцем Нетер.

Модулі над кільцем головних ідеалів[ред.ред. код]

Підмодуль N вільного модуля М скінченного рангу n над кільцем головних ідеалів R є вільним модулем рангу над R, і в модулях М і N можна так вибрати базиси і , що , де і — є повним (тобто ) дільником елементів при j < i.

Кожен скінченно породжений модуль K над R є прямою сумою циклічних модулів , де і — повний дільник при . Ця теорема узагальнює основну теорему про скінченнопороджені абелеві групи. Елементи , з попередньої теореми визначені однозначно з точністю до подібності. Ці елементи називаються інваріантними множниками модуля K.

Крім того, модуль K можна представити у вигляді прямої суми далі нерозкладних циклічних модулів , де . Елементи , визначені однозначно з точністю до подібності і називаються елементарними дільниками модуля К. Якщо область головних ідеалів R комутативна, то або , де - незвідні (прості) елементи кільця R. Із попередніх тверджень випливають звичайні властивості елементарних дільників і інваріантних множників лінійних перетворень скінченновимірних векторних просторів.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Главных идеалов кольцо. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1. Советская энциклопедия, 1984.
  • Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947;