Кільце (алгебра)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебраїчна структура, в якій визначені операції додавання та множення з властивостями, подібними до додавання і множення цілих чисел. Вивченням властивостей кілець присвячена теорія кілець[en].

Означення та нотація[ред.ред. код]

Кільце — це множина з двома бінарними операціями, що звичайно позначаються "" та "" і називаються додаванням та множенням, яка задовільняє наступній системі аксіом:

  • є комутативною групою. Її називають адитивною групою кільця і нейтральний елемент в ній позначають як 0 (нуль);
  • (дистрибутивність додавання щодо множення);
  • (асоціативність множення);
  • в існує нейтральний елемент 1 (одиниця), що задовільняє:

Деякі автори не вимагають наявності одиниці, і натомість називають кільця з одиницею унітарними кільцями або кільцями з одиницею.

Розглядаються також кільця, у яких не задовільняється асоціативність множення, наприклад, кільця (або алгебри) Лі. У такому разі, кільця, в яких множення асоціативне, називають асоціативними кільцями.

Надалі в цій статті вважатимемо, що наявність мультиплікативної одиниці та асоціативність множення входять до означення кільця.

Кільця, що задовольняють на вимогу комутативності множення називають комутативними кільцями. Не всі кільця є комутативними, наприклад, кільце матриць чи кватерніонів.

Символ зазвичай не пишуть, використовуючи стандартні правила порядку операцій, тому, наприклад, є скороченим записом .

Якщо для двох елементів кільця та виконується рівність то кажуть, що є оберненим елементом до відносно множення. В цьому випадку елемент однозначно визначається елементом і позначається (звичайно, маємо також, що ).

Якщо в кільці немає дільників нуля, відмінних від самого нуля, тобто якщо з витікає, що або , або , то кажуть про кільце без дільників нуля. Якщо до того ж кільце є комутативним, то його називають цілісним.

Приклади[ред.ред. код]

  • Якщо  — будь-яке натуральне число, то множина залишків утворює комутативне кільце залишків з елементів. Якщо  — просте число, то є полем.
  • Поліноми однієї змінної із цілими коефіцієнтами утворюють комутативне кільце, що позначається Додавання та множення поліномів — почленні, тобто

Так само, комутативне кільце утворюють поліноми однієї змінної із раціональними, дійсними, або комплексними коефіцієнтами.

  • Для будь-якого натурального , множина всіх матриць із цілими елементами утворює кільце, яке позначається Це кільце — некомутативне, якщо
  • Кватерніони — це ще одне некомутативне кільце. На відміну від матриць, будь-який ненульовий кватерніон має обернений.
  • Групова алгебра довільної групи  — це надзвичайно важливе кільце, за допомогою якого вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця. Кільце  — комутативне тоді, і тільки тоді, коли  — комутативна група.

Властивості кілець[ред.ред. код]

  • якщо кільце містить більше одного елемента, то
  • якщо і обидва мають обернені елементи. Отже множина всіх оборотних елементів кільця є замкненою відносно множення, і тому утворює групу, що позначається .
Наприклад, циклічна група порядка

Ідеали[ред.ред. код]

Непорожня підмножина I кільця R називається правим ідеалом, якщо:

  • з витікає ;
  • з витікає для будь-якого . Інакше кажучи, ідеал містить усі праві кратні .

Ліві ідеали визначаються схожим чином, з заміною правих кратних на ліві кратні .
Нарешті, двосторонній ідеал — це така підмножина, що вона одночасно є лівим та правим ідеалом.
Для комутативних кілець усі три поняття збігаються, тож говорять просто про ідеал.

Приклади ідеалів в комутативних кільцях:

  • Нульовий ідеал, що містить лише нуль;
  • Одиничний ідеал, що містить усі елементи кільця;
  • Ідеал , породжений елементом , що складається з усіх його кратних елементів , де .

Цей ідеал є найменшим серед ідеалів, які містять елемент . Його можна також визначити як перетин усіх ідеалів, що містять елемент
Наприклад, ідеал у кільці цілих чисел складається з усіх парних чисел.
Схожим чином можна побудувати ідеал , породжений кількома елементами , як сукупність сум вигляду , де , або як перетин усіх ідеалів кільця R, які містять елементи . У цьому випадку кажуть, що елементи складають базис цього ідеалу.
Головний ідеал — це ідеал, породжений одним елементом. Нульовий та одиничний ідеали є завжди головними, бо вони породжуються нульовим та одиничним елементами кільця, відповідно.

Поняття ідеалу узагальнює множину кратних деякого числа у кільці цілих чисел. Перетин двох ідеалів відповідає найменшому спільному кратному двох чисел, сума ідеалів (множина всіляких сум їхніх елементів) - найбільшому спільному дільникові.

Евклідові кільця та кільця головних ідеалів[ред.ред. код]

Докладніше: Евклідове кільце

Евклідове кільце — це цілісне кільце, в якому для кожного елемента визначено число з такими властивостями:

  • Для будь-яких елементів кільця , справедливо .
  • Якщо елемент , то будь-який елемент можна представити у вигляді
,

де або , або .
Другий пункт у визначенні евклідового кільця узагальнює ділення з остачею в кільцях цілих чисел та многочленів. Для цілих чисел (абсолютна величина), для многочленів (степінь многочлена). Кільця названі на честь Евкліда, який запропонував алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, відомий як алгоритм Евкліда. Цей алгоритм з незначними змінами можна застосувати до будь-яких евклідових кілець, що дозволяє довести наступну теорему.

Теорема. В евклідовому кільці кожен ідеал є головним.

Цілісне кільце, в якому кожен ідеал є головним, називаеться кільцем головних ідеалів. Таким чином, кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів.

Конструювання нових кілець з даних[ред.ред. код]

  • Якщо підмножина S кільця (R,+,*) разом з операціями + і *, обмеженими S, сама є кільцем, і нейтральний елемент 1 R міститься в S, тоді S називають підкільцем кільця (R,+,*).
  • Центром кільця R називають множину елементів R, що комутують з кожним елементом з R; таким чином, c знаходиться в центрі кільця, якщо cr=rc для кожного rR. Центр є підкільцем кільця R. Кажемо, що підкільце S кільця R є центральним, якщо воно є підкільцем центра кільця R.
  • Прямою сумою двох кілець R і S називаємо Декартів добуток R×S разом з операціями
(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+r2, s1+s2) та
(r1, s1) * (r2, s2) = (r1*r2, s1*s2).
  • Якщо дано кільце R та ідеал I кільця R, кільце відношень (або фактор-кільце) R/I є множиною суміжних класів I разом з операціями
(a+I) + (b+I) = (a+b) + I та
(a+I) * (b+I) = (a*b) + I.
  • Оскільки будь-яке кільце є одночасно лівим та правим модулем над собою, можна сконструювати тензорний добуток R над кільцем S з іншим кільцем T і отримати інше кільце, якщо S є центральним підкільцем R та T.
  • До будь-якого кільця R, можна приєднати змінну x і отримати - кільце многочленів над R. Послідовно приєднуючі знінні, можна отримати - кільце многочленів від змінних над кільцем R.

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.