Ланцюговий комплекс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ланцюговий комплекс — основне поняття гомологічної алгебри.

Ланцюговий комплекс[ред.ред. код]

Ланцюговим комплексом називається послідовність модулів і гомоморфізмів , що називаються граничними операторами або диференціалами


така що . Елементи називаються n-мірними ланцюгами, елементи ядра — n-вимірними циклами, елементи образа — n-вимірними границями. З випливає, що (т.зв.напівточність). Якщо до того ж , то такий комплекс називається точним.

Ланцюгові комплекси модулів над фіксованим кільцем утворюють категорію з мофізмами , де послідовність морфізмів , така що комутує з диференціалом, тобто .

Коланцюговий комплекс[ред.ред. код]

Коланцюговий комплекс — поняття, двоїсте ланцюговому комплексу. Він визначається як послідовність модулів і гомоморфізмов , таких що

Коцепной комплекс, як і ланцюговий, є напівточною послідовністю.

Властивості і поняття, пов'язані з коланцюговими комплексами, двоїсті аналогічним поняттям і властивостям ланцюгових комплексів.

Гомології і когомології[ред.ред. код]

n-вимірна група гомологій ланцюгового комплексу є його мірою точності в n-ому члені і визначається як

. Для точного комплексу

Аналогічно визначається n-вимірна група когомологій коланцюгового комплексу:

Приклади[ред.ред. код]

Симпліціальна гомологія[ред.ред. код]

Нехай маємо симпліціальний комплекс K.

Визначимо Cn(K) для натурального числа n вільну абелеву групу породжену n-симплексами комплекса K і граничне відображення:

Виконується властивість ∂² = 0, отже є ланцюговим комплексом; симпліціальна гомологія визначається:

Когомологія де Рама[ред.ред. код]

Диференціальні k-форми на будь-якому гладкому многовиді M утворюють векторний простір, що позначається Ωk(M). Зовнішня похідна dk є відображенням з Ωk(M) в Ωk+1(M), і d 2 = 0, отже простори k-форм із зовнішньою похідною утворюють коланцюговий комплекс:

Гомологією цього комплексу є когомологія де Рама:

Гомоморфізми ланцюгових комплексів[ред.ред. код]

Гомоморфізмом ланцюгових комплексів і називається таке відображення що наступна діаграма є комутативною:

Complexchainmorph.PNG

Гомоморфізм ланцюгових комплексів індукує гомоморфізм їх груп гомологій.

Ланцюгова гомотопія[ред.ред. код]

Ланцюгова гомотопія між гомоморфізмами комплексів і — гомоморфізм ланцюгових комплексів і ступеня +1 (тобто ), для якого

Для коланцюгових комплексів відповідна комутативна діаграма має вигляд.

Diagram chain homotopy.svg

Література[ред.ред. код]

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — Москва: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
  • Маклейн С. Гомология, — Москва: Мир, 1966.
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — Москва: Мир, 1976.