Ланцюгові дроби Данжуа

Ланцюгові дроби Данжуа

Ланцюго́вий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},...]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+...}}}}}}$

де a₀ є ціле число, а всі інші a_n є натуральними числами.

У 1942 році у своїй роботі «Complement a la notice publiee en 1934 sur les travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Hermann, Paris, 1942» французький математик Арно Данжуа встановив, що кожне дійсне число x розкладається у скінченний або нескінченний ланцюговий дріб, елементами якого є лише 0 та 1, тобто у дріб виду:

$x=[d_{0};d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{n},...],d_{j}\in {\{0;1\}}$.

Даний вираз називають канонічним ланцюговим дробом, або ланцюговим дробом Данжуа.

На основі розкладу числа в ланцюговий дріб Данжуа була створена тополого-метрична теорія зображення чисел дробами Данжуа, так званого $D_{2}$-зображення.

Основні теореми $D_{2}$-зображення

Нехай $A={\{0;1\}}$ – двосимвольний алфавіт, $L=A\times A\times ...$ — простір послідовностей елементів алфавіту. Покладемо ${\frac {1}{0}}\equiv \infty ,{\frac {1}{\infty }}\equiv 0$.

Теорема 1

Для довільного числа $x\in (0;1]$ існує набір $(d_{1},d_{2},d_{3},...,d_{n})$ або послідовність $(d_{n})\subset L$ така, що:

$x={\frac {1}{d_{1}+{\tfrac {1}{d_{2}+{\tfrac {1}{d_{3}+...}}}}}}\equiv [0;d_{1},d_{2},d_{3},...]_{2}^{D}$,

причому $d_{1}=1$, і якщо $d_{i}=0$, то $d_{j}=1$ при $j=i+1$.

Теорема 2

Оскільки $[0;(1,0)]^{D}=0,[0;1,(1,0)]^{D}=1,$ то усі скінченні дроби Данжуа $[0;d_{1},d_{2},...,d_{n}]^{D}$ можна записувати у вигляді $[0;d_{1},d_{2},...,d_{n},(1,0)]^{D}$ і вважати, що кожне число з відрізка $[0;1]$ має нескінченне $D_{2}$-зображення.

Розклад в ланцюговий дріб Данжуа

Алгоритм розкладу числа у дріб Данжуа має наступний вигляд: Нехай маємо число $x\in (0;1].$ Якщо x = 1, то таким розкладом, очевидно, є $[0;1]^{D}$.

Якщо $x\in (0;1)$, то дріб ${\frac {1}{x}}>1$. Дріб ${\frac {1}{x}}=1+x_{1}$. Тоді $x={\frac {1}{\frac {1}{x}}}={\frac {1}{1+x_{1}}},d_{1}=1.$

Якщо $x_{1}>1$, то ${\frac {1}{\frac {1}{x_{1}}}}<1$, тоді $x={\frac {1}{1+{\frac {1}{\frac {1}{x_{1}}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{0+{\frac {1}{x_{1}}}}}}}$, $d_{1}=1,d_{2}=0$.

Якщо $x_{1}\in (0;1)$, то дріб ${\frac {1}{x_{1}}}>1$. Тоді ${\frac {1}{x_{1}}}=1+x_{2}$. Звідси маємо: $x={\frac {1}{1+{\frac {1}{x_{1}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{1+x_{2}}}}},d_{1}=1,d_{2}=1$.

У кожному з наступних випадків діємо аналогічно, якщо $x_{i}>1$, то наступна цифра $d_{i}=0$, і наступна $d_{j}=1$; якщо $x_{i}<1$, то наступна цифра $d_{i}=1$, і наступна $d_{j}=1$.

За нескінченне число кроків отримаємо що $x_{k}=1$, або ж процес буде продовжуватись до нескінченності. Збіжність процесу очевидна.

Приклад. ${\frac {1}{3}}={\frac {1}{1+2}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{\frac {1}{2}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{0+{\frac {1}{2}}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{0+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}=[0;1,0,1,1]^{D}$.

Література

• Brown G. Metrical theory for farey continued fractions // Osaka J. Math. – 1996. — Vol. 33.no. 2.
• Cusick T. W. Hausdorff dimension of sets of continued fractions // Quan. J. Math. Oxford. — 1990. — Vol. 41, no. 2.
• Dajani K., Kraaikamp C. The mother of all continued fractions // Colloq. Math. — 2000. — 84/85. part 1.
• Denjoy A. Complement a la notice publiee en 1934 sur les travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Hermann, Paris, 1942.
• Iosifescu M., Kraaikamp C. Metric properties of Denjoy's canonical continued fraction expansion // Tokyo J. Math. — 31 (2008). — no. 2.
• Iosifescu M., Kraaikamp C. On Denjoy's canonical continued fraction expansion // Osaka J. Math. — 40 (2003). — no. 1.
• Pratsiovytyi M., Kyurchev D. Properties of the distribution of the random variable defined by A₂-continued fraction with independent elements // Random Oper. Stochastic Equations, 2009, Vol. 17., no. 1.
• Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Y.V., Lysenko I.M., Ratushniak S. P. Continued $A_{2}$-fractions and singular functions. Matematychni Studii, 2022, 58(1), doi: 10.30970/ms.58.1.3-12
• Pratsiovytyi M.V., Goncharenko Ya.V., Lysenko I.M. Ratushniak S.P. Fractal functions of exponential type that is generated by the $Q_{2}^{*}$-representation of argument // Matematychni Studii. V.57, No.2.
• Працьовитий М. В., Скрипник С. О., Чуйков А.С. Ланцюгове $D_{2}$-зображення дійсних чисел і деякі функції, з ним пов'язані //  Збірник праць Інституту математики НАН України 2019, т. 16, № 3.