Лема Артіна — Ріса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці, лемою Артіна — Ріса називається важливе твердження про властивості модулів над кільцями Нетер. Лема використовується зокрема для доведення теореми Круля про перетини і має важливі застосування в алгебричній геометрії. Названа на честь Еміля Артіна і Девіда Ріса.

Твердження[ред. | ред. код]

Нехай I — ідеал в нетеровому кільці R; нехай Mскінченнопороджений модуль над R і N його підмодуль. Тоді існує ціле число k ≥ 1, що для всіх цілих чисел n ≥ k,

Доведення[ред. | ред. код]

Для довільного кільця R і його ідеалу I, позначимо . Оскільки можна розглядати як градуйоване кільце. Якщо позначити — множину твірних елементів ідеалу I (дана множина є скінченною оскільки R є нетеровим кільцем), то елементи є породжуючими для як алгебри над R і тому є ізоморфним деякій факторалгебрі многочленів і згідно теореми Гільберта про базис є кільцем Нетер.

Спадна послідовність скінченнопороджених підмодулів називається I-фільтрацією якщо ; I-фільтрація називається стабільною якщо для достатньо великого n. Для модуля M з I-фільтрацією, позначимо ; це є градуйованим модулем над градуйованим кільцем .

є скінченнопородженим модулем над якщо і тільки якщо є I-стабільним.

Справді, якщо фільтрація є I-стабільною, то є породженою членами кожен з яких теж є скінченно породжений; тому, є скінченно породженим. Навпаки, якщо цей модуль є скінченно породженим, наприклад, елементами з , тоді для , кожен елемент f з може бути записаним як

для породжуючих елементів з (для кожного елемента індекс береться максимальним з тих, що ). Тобто, .

Позначимо тепер . Тоді є I-стабільною фільтрацією. Тому з попереднього отримуємо, що є скінченно породженим над і тому є нетеровим модулем і кожен його підмодуль є скінченно породженим над ; зокрема, є скінченно породженим коли на N визначити індуковану фільтрацію; тобто . Індукована фільтрація тоді теж буде I-стабільною, що й доводить твердження леми

Теорема Круля про перетини[ред. | ред. код]

Нехай R комутативне нетерове кільце, I — власний ідеал у R і M — скінченнопороджений модуль над R. Тоді перетину

належать всі елементи для яких для деякого елемента , який може бути обраний єдиним для всіх .

Доведення[ред. | ред. код]

Очевидно, що якщо для деякого елемента то і відповідно .

Навпаки застосувавши лему Артіна — Ріса для M і N визначених у цьому розділі, отримуємо деяке k, таке що для всіх , Зокрема для :

Але оскільки то звідси і згідно леми Накаями існує такий, що для всіх .

Наслідок для локальних нетерових кілець[ред. | ред. код]

Для власного ідеалу I в комутативному локальному нетеровому кільці .

Оскільки то достатньо довести твердження для єдиного максимального ідеалу локального кільця. Взявши в теоремі Круля і враховуючи, що в локальному кільці всі елементи є оборотними отже не є дільниками 0 отримуємо необхідний результат.

Література[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]