Лема Бернсайда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці і зокрема в теорії груп і комбінаториці лема Бернсайда  — результат, що визначає кількість орбіт при дії певної групи на деякій множині. Часто також використовуються назви обчислювальна теорема Бернсайда, лема Коші-Фробеніуса. Названа на честь англійського математика Вільяма Бернсайда, хоча була відома і до нього.

Твердження леми[ред.ред. код]

Нехай  — скінченна група, що діє на деякій множині . Для кожного позначимо . Лемма Бернсайда дає формулу числа орбіт групи , що позначається :


Доведення[ред.ред. код]

Спершу використовуючи два способи обчислення маємо:

де  - стабілізатор елемента x. Далі враховуючи, що кількість елементів групи G рівна добутку кількості елементів стабілізатора і орбіти x можна записати:

розглянувши окремо деяку орбіту B, в множині X одержуємо:

зважаючи, що X є об'єднанням таких орбіт звідси випливає:

знову пригадуючи інший спосіб обчислення остаточно одержуємо:

що завершує доведення.

Приклад застосування[ред.ред. код]

Формула Бернсайда може бути використана для обчислення незалежних від поворотів розфарбувань граней куба.

Нехай X множина всіх 36 можливих розфарбувань граней куба в три кольори, а G  - група поворотів куба, що діє на X. Два елементи X належать до однієї орбіти, якщо один одержується з іншого за допомогою деякого повороту. Тож для обрахунку різних кубів треба обчислити кількість орбіт у множині X під дією групи G. Для цього визначимо кількість незмінних елементів для кожного з 24 поворотів і використаємо лему Бернсайда.

Куб з кольоровими гранями
  • одиничний елемент при кому усі 36 елементів X залишаються незмінними
  • шість поворотів на 90 градусів навколо осей, що з'єднують центри протилежних граней, при кожному 33 елементів X залишаються незмінними
  • три повороти на 180 градусів навколо осей, що з'єднують центри протилежних граней, при кожному 34 елементів X залишаються незмінними
  • вісім поворотів на 120 градусів навколо осей, що з'єднують протилежні вершини, при кожному 32 елементів X залишаються незмінними
  • шість поворотів на 180 градусів навколо осей, що з'єднують центри протилежних ребер, при кожному 33 елементів X залишаються незмінними

Тому згідно з формулою Бернсайда:

Отже, загальна кількість різних з урахуванням поворотів кубів, грані яких розфарбовані в три кольори, рівна 57. Загалом, якщо грані розфарбовані в n кольорів, то справедлива формула:

Література[ред.ред. код]