Лема Гауса про незвідні многочлени

Лема Гауса — твердження про властивості многочленів над факторіальними кільцями, що вперше було доведено для многочленів над кільцем цілих чисел. Має багато застосувань у теорії кілець та полів, зокрема при доведенні факторіальності кільця многочленів над факторіальним кільцем і теореми Люрота.

Твердження

Нехай $R$ — факторіальне кільце. Тоді справедливими є такі два твердження:

• Для довільних $a\in R,\;\;\;f,g\in R[x]$ якщо $a$ ділить всі коефіцієнти добутку $f(x)g(x),$ то $a$ також ділить всі коефіцієнти або многочлена $f(x)$ або многочлена $g(x).$ Зокрема якщо $f(x),g(x)$ — примітивні многочлени (многочлен називається примітивним, якщо найбільший спільний дільник його коефіцієнтів є оборотним елементом), то і многочлен $f(x)g(x)$ є примітивним;
• Якщо $Q$ — поле часток кільця $R$ то довільний многочлен не рівний константі є незвідним у кільці $Q[x]$ тоді і тільки тоді коли він є незвідним у кільці $R[x].$

Твердження про добуток примітивних многочленів і про незвідні многочлени будуть справедливими і якщо розглядати замість факторіальних кілець більш загальні області в яких два довільних елементи мають найбільший спільний дільник.

Доведення (для факторіальних кілець)

Покажемо, що якщо елемент $p$ кільця $R$ є спільним дільником коефіцієнтів многочлена $f(x)g(x)$, то він є спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена $f(x)$ або спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена $g(x)$.

Нехай $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$, $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}$, $n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g$ — степені цих многочленів.

Припустимо, що $p$ не ділить всі коефіцієнти ні многочлена $f(x)$ ні многочлена $g(x).$ Тоді існують найменші $i,j$ для яких $p\nmid a_{i}$ і $p\nmid b_{j}.$

Коефіцієнт біля одночлена степеня $i+j$ многочлена $f(x)g(x)$ має вигляд:

$\sum _{k<i}a_{k}b_{i+k-k}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.$

Згідно вибору $i,j$ елемент $p$ ділить всі доданки у цій сумі за винятком $a_{i}b_{j},$ яких він не ділить оскільки кільце є факторіальним. Отож він не ділить і всю суму, що є одним з коефіцієнтів многочлена. Як наслідок, якщо обидва многочлени $f(x),g(x)$ є примітивними то єдиними елементами, що ділять всі коефіцієнти їх добутку є оборотні елементи, тобто $f(x)g(x)$ — примітивний многочлен.

Нехай тепер $f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$ — факторизація у кільці $Q[x].$ Обравши спільні кратні знаменників коефіцієнтів многочленів $f_{1}(x),f_{2}(x)$ отримуємо, що $af_{1}(x)=g_{1}(x)\in R[x]$ і $bf_{2}(x)=g_{2}(x)\in R[x]$ і $abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).$

Кожен незвідний дільник $ab$ відповідно ділить всі коефіцієнти многочлена $g_{1}(x)g_{2}(x)$ і відповідно всі коефіцієнти одного з цих многочленів. Поділивши на цей дільник і повторивши цей процес скінченну кількість разів отримуємо факторизацію у кільці $R[x].$

Див. також

• Теорема Люрота
• Факторіальне кільце

Література

• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3