Лема Гронуолла—Беллмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Гронуолла—Беллманалема про інтегральні (диференціальні) нерівності[1][2]. Використовується для встановлення різноманітних оцінок в теорії звичайних диференціальних рівнянь та стохастичних диференціальних рівнянь. Зокрема, вона використовується при доведені єдиності розв'язку задачі Коші для звичайного диференціального рівняння.

Формулювання[ред.ред. код]

В інтегральній формі.

Нехай

причому при виконується нерівність:

де — деяка додатна константа. Тоді для довільного виконується оцінка

В диференціальні формі.

Нехай

причому при виконується нерівність:

Тоді для довільного виконується оцінка

Зауваження. В цьому випадку немає жодних припущень на знак функцій , але вимагається диференційовність функції .

Доведення[ред.ред. код]

Із нерівності (1) отримуємо

та

Оскільки

то, інтегруючи нерівність (3) в межах від до , матимемо

Звідси, використовуючи нерівність (1), отримуємо

що й треба було довести.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Беллман Р., Теория устойчивости решений диференциальных уравнений, ИЛ, 1954
  2. Bihari J., A genralizatial of differential equations, Acta math. Acad. Scient. Hung. VII, 1 (1956), 81-94

Джерела[ред.ред. код]

  1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)