Лема Рабіновича

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Рабіновича — лема в комутативній алгебрі, що доводить еквівалентність загальної теореми Гільберта про нулі і деякого її часткового випадку (що іноді називається слабкою теоремою Гільберта про нулі)[1].

Твердження[ред.ред. код]

Нехай Kалгебраїчно замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай K[X_1,\dots,X_n] — кільце многочленів від змінних X_1,\dots,X_n з коефіцієнтами з поля K і нехай Iідеал в тому кільці. Позначимо V(I)афінний многовид, що визначається цим ідеалом, а I(X) — ідеал многочленів, що рівні нулю на многовиді X. З теореми Гільберта про нулі випливає, що для кожного власного ідеалу кільця K[X_1,\dots,X_n], множина V(I) є непорожньою. Це твердження називається слабкою теоремою Гільберта про нулі. Лема Рабіновича стверджує, що насправді слабка теорема є еквівалентною загальній.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай F \in I(V(I)). Розглянемо ідеал J \subseteq K[x_1,\ldots ,x_{n+1}], породжений всіма многочленами з I і ще многочленом x_{n+1}F - 1\,. Очевидно, V(J) = 0. Отже, 1 \in J, тобто 1 = \sum_{i=1}^m H_iF_i + H_{m+1}(x_{n+1}F -1) для деяких многочленів H_i \in K[x_1,\ldots ,x_{n+1}] і деяких многочленів F_i \in I. Рівність є формальною рівністю многочленів, отже, ми можемо замінити в ній змінні x на будь-які значення, взяті з довільної К-алгебри .Замінивши xn+1 на 1/F , ми одержимо: 1 = \sum_{i=1}^m H_i(x_1,\ldots ,x_n, 1/F)F_i (x_1,\ldots ,x_n) Помноживши ці рівності на спільний знаменник, який дорівнює Fk для деякого цілого k ми одержимо, що F^k = \sum_{i=1}^m G_iF_i \in I , де Gi позначає F^kH_i(x_1,\ldots ,x_n, 1/F).

Примітки[ред.ред. код]

  1. J.L. Rabinowitsch, "Zum Hilbertschen Nullstellensatz" Math. Ann. , 102 (1929)

Посилання[ред.ред. код]