Лема Рабіновича

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема Рабіновича — лема в комутативній алгебрі, що доводить еквівалентність загальної теореми Гільберта про нулі і деякого її часткового випадку (що іноді називається слабкою теоремою Гільберта про нулі)[1].

Твердження[ред.ред. код]

Нехай алгебраїчно замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай — кільце многочленів від змінних з коефіцієнтами з поля і нехай ідеал в тому кільці. Позначимо афінний многовид, що визначається цим ідеалом, а — ідеал многочленів, що рівні нулю на многовиді X. З теореми Гільберта про нулі випливає, що для кожного власного ідеалу кільця , множина є непорожньою. Це твердження називається слабкою теоремою Гільберта про нулі. Лема Рабіновича стверджує, що насправді слабка теорема є еквівалентною загальній.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай Розглянемо ідеал , породжений всіма многочленами з I і ще многочленом . Очевидно, . Отже, , тобто для деяких многочленів і деяких многочленів . Рівність є формальною рівністю многочленів, отже, ми можемо замінити в ній змінні x на будь-які значення, взяті з довільної К-алгебри .Замінивши xn+1 на 1/F , ми одержимо: Помноживши ці рівності на спільний знаменник, який дорівнює Fk для деякого цілого k ми одержимо, що , де Gi позначає .

Примітки[ред.ред. код]

  1. J.L. Rabinowitsch, "Zum Hilbertschen Nullstellensatz" Math. Ann. , 102 (1929)

Посилання[ред.ред. код]