Лема про вкладені відрізки

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лема про вкладені відрізки

Загальне формулювання[ред.ред. код]

Нехай існують монотонно зростаюча варіанта та монотонно спадна варіанта , причому завжди

. (Посилання 1)

Якщо їх різниця прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну границю:

Допоміжна теорема для доведення[ред.ред. код]

Якщо варіанти та мають кінцеві границі:

, ,

то і сума (різниця) їх також мають кінцеву границю, причому

Доведення

З умови теореми випливає, що

, , (посилання 2)

де , - нескінченно малі. Тоді

Тут є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням границі, можна стверджувати, що варіанта має границю, що дорівнює , що і потрібно було довести.

Доведення[ред.ред. код]

Дійсно, при всіх значеннях n маємо: , а значить, зважаючи на (1), і . Зростаюча змінна виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю .

Аналогічно, для спадної змінної будемо мати , так що і вона прямує до кінцевою границі .

Але, відповідно до допоміжної теореми, різниця обох границь

тобто, за умовами рівна 0, так що , що і треба було довести.

Класичне формулювання[ред.ред. код]

Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.

Назвемо проміжком [a,b] (де a < b) множину всіх чисел x, що задовольняють нерівностям . Числа (або "точки") a та b називаються, відповідно, лівим та правим кінцями проміжка, а їх різниця b - a - довжиною проміжка. Неважко бачити, що на числовій вісі проміжку відповідає відрізок (тої ж довжини).

Домовимося говорити, що відрізок міститься в відрізку [a,b], або вкладений в ньго, якщо всі точки першого відрізка належать іншому, або, що теж саме, якщо

Нехай існує нескінченна послідовність вкладених один в одний відрізків так, що кожний наступний міститься в попередньому, при чому довжина цих відрізків прямує до 0 зі зростанням n:

Тоді кінці та відрізків (з різних боків) прямують до спільної границі

,

що являє собою єдину точку, загальну для всіх проміжків.

Це лише перефразування доведеної вище теореми. Згідно з умовою,

так що лівий кінець та правий кінець n-го відрізка грають тут роль монотонних варіант та .

Так як прямує до c зростаючи, а зменшуючись, то

тобто точка c дійсно належить всім нашим відрізкам. В той же час, іншої, відмінної від c, точки з тими ж властивостями бути не може, бо інакше ми мали б:

і довжина n-го відрізку не могла б прямувати до 0.

Джерела[ред.ред. код]