Теорема Лапласа

Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.

Теорема

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $\ n\times n,$ в якій вибрано довільні $\ k$ рядків.

Тоді визначник матриці $\ A$ рівний сумі всіляких добутків мінорів $\ k$-го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

$\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},$

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців $\ j_{1},\ldots ,j_{k}.$

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати $k$ стовпців з $n$, тобто біноміальному коефіцієнту $\textstyle {n \choose k}$.

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Дана теорема має наступні застосування.

Розклад визначника по рядку (стовпцю)

Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа — розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє представити визначник квадратної матриці у вигляді суми добутків елементів будь-якого її рядка або стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Нехай $A=(a_{ij})$ — квадратна матриця розміру $n\times n$. Нехай також заданий деякий номер її рядка $\ i$ або номер її стовпця $\ j.$ При $\ k=1$ мінорами будуть самі елементи цього рядка чи стовпця.

Визначник $\ A$ може бути обчислений за формулами:

Розклад по $i$-му рядку:

$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

Розклад по $j$-му стовпцю:

$\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$

де $\ A_{ij}$ — алгебраїчне доповнення до елемента, розташованого в рядку з номером $\ i$ та стовпці з номером $\ j$.

Фальшивий розклад

Сума добутків усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

$i\neq k\quad \Rightarrow \quad \sum _{j=1}^{n}a_{kj}A_{ij}=0$

$j\neq k\quad \Rightarrow \quad \sum _{i=1}^{n}a_{ik}A_{ij}=0$

Приклади

Розглянемо матрицю:

$B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&9&10\end{bmatrix}}.$

Визначник матриці обчислимо за допомогою розкладу Лапласа по першому рядку:

$|B|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\9&10\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&10\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&9\end{vmatrix}}$

${}=1\cdot (-4)-2\cdot (-2)+3\cdot 1=3.$

Застосувавши розклад Лапласа по другому стовпцю отримаємо той самий результат:

$|B|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&10\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&10\end{vmatrix}}-9\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}$

${}=-2\cdot (-2)+5\cdot (-11)-9\cdot (-6)=3.$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь П'єра-Симона Лапласа

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)