Лемніската Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Лемніската і її фокуси

Лемніската Бернуллігеометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Назва походить з античного Риму, де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскату називають в честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивченню.

Рівняння[ред.ред. код]

Розглянемо простий випадок: якщо відстань між фокусами 2c, розташовані вони на осі OX, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають лемніскату:

\textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2)
Зробивши нескладні перетворення, можна отримати рівняння у явному вигляді:
\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}
\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.
  • Параметричне рівняння в прямокутній системі:
\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}, де p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)

Щоб задати лемніскату по двох довільних точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусний відрізок переходить в новий, і подіяти на представлені рівняння цим перетворенням.

Властивості[ред.ред. код]

Лемніската, вписана в коло
  • Лемніската — крива четвертого порядку.
  • Вона має дві осі симметрії: пряма, на якій лежить F_1 F_2, і серединний перпендикуляр цього відрізка, в простішому (даному) випадку — вісь OY.
  • Точка, де лемниската перетинає саму себе, називається вузловою чи подвійною точкою.
  • Крива має 2 максимуми і 2 мінімуми. Їх координати:
    \begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases}
  • Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі OY в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (чи від мінімуму) до подвійної точки.
  • Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F_1F_2 кути \textstyle\pm\frac{\pi}{4}.
  • Лемніскату описує поверхня радіуса \textstyle a=c\sqrt{2}, тому деколи в рівняннях проводять цю заміну.
  • Інверсія відносно поверхні з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в рівнобічну гіперболу.
  • В полярних координатах \textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi, вірне наступне

Побудова[ред.ред. код]

Побудова лемніскати з допомогою трьох відрізків

З допомогою трьох відрізків[ред.ред. код]

Це один із найбільш простих і швидких способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань.

На площині вибираються дві точки — A і B — наступні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох скріплених в ряд на шарнірах відрізках, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох містах (точки вигину — C и D). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків: \textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB. Краї лінії закріплюються до фокусів. При непараллельному повертанні відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описує лемніскату Бернуллі.

За допомогою січних (спосіб Маклорена)[ред.ред. код]

Будується поверхня радіуса \textstyle\frac{c}{\sqrt{2}} з центром в одному із фокусів. Із середини O фокусного відрізка будується довільна січна OPS (P i S — точки перетину з поверхнею), і на ній в обидві сторони відкладуються відрізки OM_1 і OM_2, рівні хорді PS. Точки M_1, M_2 лежать на різних петлях лемніскати.

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.