Лемніската Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Лемніската і її фокуси

Лемніската Бернуллігеометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Назва походить з античного Риму, де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскату називають в честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивченню.

Рівняння[ред.ред. код]

Розглянемо простий випадок: якщо відстань між фокусами , розташовані вони на осі , і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають лемніскату:

Зробивши нескладні перетворення, можна отримати рівняння у явному вигляді:
  • Параметричне рівняння в прямокутній системі:
, де

Щоб задати лемніскату по двох довільних точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусний відрізок переходить в новий, і подіяти на представлені рівняння цим перетворенням.

Властивості[ред.ред. код]

Лемніската, вписана в коло
  • Лемніската — крива четвертого порядку.
  • Вона має дві осі симметрії: пряма, на якій лежить , і серединний перпендикуляр цього відрізка, в простішому (даному) випадку — вісь .
  • Точка, де лемниската перетинає саму себе, називається вузловою чи подвійною точкою.
  • Крива має 2 максимуми і 2 мінімуми. Їх координати:
  • Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (чи від мінімуму) до подвійної точки.
  • Дотичні в подвійній точці складають з відрізком кути .
  • Лемніскату описує поверхня радіуса , тому деколи в рівняннях проводять цю заміну.
  • Інверсія відносно поверхні з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в рівнобічну гіперболу.
  • В полярних координатах , вірне наступне
    • Площа полярного сектора , при :
      • Площа кожної петлі .
    • Радіус кривини лемніскати є

Побудова[ред.ред. код]

Побудова лемніскати з допомогою трьох відрізків

З допомогою трьох відрізків[ред.ред. код]

Це один із найбільш простих і швидких способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань.

На площині вибираються дві точки — і — наступні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох скріплених в ряд на шарнірах відрізках, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох містах (точки вигину — и ). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків: . Краї лінії закріплюються до фокусів. При непараллельному повертанні відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описує лемніскату Бернуллі.

За допомогою січних (спосіб Маклорена)[ред.ред. код]

Будується поверхня радіуса з центром в одному із фокусів. Із середини фокусного відрізка будується довільна січна ( i — точки перетину з поверхнею), і на ній в обидві сторони відкладуються відрізки і , рівні хорді . Точки , лежать на різних петлях лемніскати.

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.