Логарифмічна похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, особливо в математичному і комплексному аналізі логарифмічна похідна фунції f визначається формулою

 (\ln f)'= \frac{f'}{f} \! ,

де fпохідна функції f.

Коли f функція f(x) від дійсної змінної x, і приймає дійсні, строго додатні значення, логарифмічна похідна дорівнює похідній від ln(f); або, похідній натурального логарифма f. Це випливає з ланцюгового правила.

Основні властивості[ред.ред. код]

Багато властивостей дійсного логарифма також присутні і у логарифмічної похідної, навіть тоді коли функція приймає не тільки додатні дійсні значення. Наприклад, тому що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників

 (\log uv)' = (\log u + \log v)' = (\log u)' + (\log v)' .\!

Таким чином для додатньо-дійсних функцій, логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників. Також можна використати тотожність Лейбніца для знаходження похідної добутку:

 \frac{(uv)'}{uv} = \frac{u'v + uv'}{uv} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} .\!

Таким чином, для будь-яких функцій логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників (де вони визначені).

Аналогічно, (в дійсності це наслідок), логарифмічна похідна оберненої функції є логарифмічна похідна первісної функції помножена на -1:

 \frac{(1/u)'}{1/u} = \frac{-u'/u^{2}}{1/u} = -\frac{u'}{u} ,\!

як і у випадку із логарифмом оберненого додатнього числа.

Логарифмічна похідна ділення - це різниця логарифмічних похідних діленого і дільника:

 \frac{(u/v)'}{u/v} = \frac{(u'v - uv')/v^{2}}{u/v} = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} ,\!

як і логарифм дробу дорівнює різниці діленого і дільника.

Логарифмічна похідна степеня (з константним дійсним показником) є добутком показника і логарифмічної похідної основи:

 \frac{(u^{k})'}{u^{k}} = \frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}} = k \frac{u'}{u} ,\!

як і логарифм степеня є добутком показника і логарифма основи.