Логарифмічна похідна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, особливо в математичному і комплексному аналізі логарифмічна похідна фунції f визначається формулою

,

де fпохідна функції f.

Коли f функція f(x) від дійсної змінної x, і приймає дійсні, строго додатні значення, логарифмічна похідна дорівнює похідній від ln(f); або, похідній натурального логарифма f. Це випливає з ланцюгового правила.

Основні властивості[ред.ред. код]

Багато властивостей дійсного логарифма також присутні і у логарифмічної похідної, навіть тоді коли функція приймає не тільки додатні дійсні значення. Наприклад, тому що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників

Таким чином для додатньо-дійсних функцій, логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників. Також можна використати тотожність Лейбніца для знаходження похідної добутку:

Таким чином, для будь-яких функцій логарифмічна похідна добутку - це сума логарифмічних похідних множників (де вони визначені).

Аналогічно, (в дійсності це наслідок), логарифмічна похідна оберненої функції є логарифмічна похідна первісної функції помножена на :

як і у випадку із логарифмом оберненого додатнього числа.

Логарифмічна похідна ділення - це різниця логарифмічних похідних діленого і дільника:

як і логарифм дробу дорівнює різниці діленого і дільника.

Логарифмічна похідна степеня (з константним дійсним показником) є добутком показника і логарифмічної похідної основи:

як і логарифм степеня є добутком показника і логарифма основи.