Логарифмічно опукла функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Кажуть, що функція f означена на опуклій підмножині дійсного векторного простору і така, що приймає додатні значення логарифмічно опукла чи суперопукла[1] якщо , композиція логарифмічної функції з f, це  — опукла функція. Логарифм страшенно сповільнює зростання початкової функції , отже якщо композиція зберігає властивість опуклості, то це повинно означати, що початкова функція була 'дійсно опуклою', звідси термін суперопукла.

Логарифмічно опукла функція f — це опукла функція, бо це композиція висхідної функція і функції , яка опукла за припущенням. Зворотнє твердження не завжди істинно: наприклад, i — опукла, але  — ні і тому не логарифмічно опукла. З іншого боку,  — логарифмічно опукла, бо  — опукла. Важливим прикладом логарифмічно опуклої функції є гамма-функція на множині додатних дійсних.

Властивості[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.
  2. Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.
  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.