Логіка Лукашевича

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Логіка Лукашевича — багатозначна логіка, як спочатку була визначена Яном Лукашевичем як тризначна логіка, а потім узагальнена до скінченної n-значної логіки, та до нескінченної дійснозначної логіки як для числення висловлень та логіки першого порядку.

Операціями логіки Лукашевича є:

імплікація \rightarrow
заперечення \neg
еквівалентність \leftrightarrow
слаба кон'юнкція \wedge
сильна кон'юнкція \otimes
слаба диз'юнкція \vee
сильна диз'юнкція \oplus

та константи \overline{0} та \overline{1}.

Наявність слабої та сильної кон'юнкції та диз'юнкції є загальною рисою всіх сабструктурних логік без правила скорочення до яких належить логіка Лукасевича.

Аксіоми[ред.ред. код]

Початкова система аксіом для нескінченно-значної логіки висловлень Лукашевича використовувала імплікацію та заперечення як основні логічні операції:

~ A \rightarrow (B \rightarrow A)
~ (A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C))
~ ((A \rightarrow B) \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow A) \rightarrow A)
~ (\neg B \rightarrow \neg A) \rightarrow (A \rightarrow B).

Дійснозначний випадок[ред.ред. код]

В дійснозначнії логіці Лукашевича логічними значеннями є дійсні числа від 0 до 1. Операції визначаються як функції:

  • Імплікація: F_\rightarrow(x,y) = \min\{1, 1 - x + y \}
  • Еквівалентність: F_\leftrightarrow(x,y) = 1 - |x-y|
  • Заперечення: F_\neg(x) = 1-x
  • Слабка кон'юнкція: F_\wedge(x,y) = \min\{x, y \}
  • Слабка диз'юнкція: F_\vee(x,y) = \max\{x, y \}
  • Сильна кон'юнкція: F_\otimes(x,y) = \max\{0, x + y -1 \}
  • Сильна диз'юнкція: F_\oplus(x,y) = \min\{1, x + y \}.