Локальна теорема Муавра — Лапласа

Локальна теорема Муавра — Лапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.

Теорема

Якщо $n\rightarrow \infty$, тоді для k в ${\sqrt {npq}}$-околі точки np, існує наближення

$\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)p^{k}q^{n-k}\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}e^{-(k-np)^{2}/2npq},\ \ p+q=1,\ p>0,\ q>0.$

Гранична форма теореми стверджує, що

${\frac {{\sqrt {2\pi npq}}\left({\begin{array}{c}n\\k\end{array}}\right)p^{k}q^{n-k}}{e^{-(k-np)^{2}/2npq}}}\rightarrow 1$

для $n\rightarrow \infty .$

Додаток

Можливо, формулювання стає ясним не відразу, проте практичний зміст теореми простий: при великих значеннях n імовірність спостерігаючи рівно m успіхів можна приблизно розраховувати за формулою: $P(\mu _{n}=m)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi npq}}}e^{-(m-np)^{2}/2npq}$

Якщо вас цікавить імовірність того, що число успіхів буде лежати в деяких межах - $P(m_{1}\leq \mu _{n}\leq m_{2})$ - у розрахунках допомагає інтегральна теорема Муавра-Лапласа.

Див. також

• Центральна гранична теорема
• Теорема Пуассона

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей. — 2-е. — Київ : Вища школа, 1994. — 192 с.(укр.)
• Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге.). Київ: Знання. с. 556.