Локальне кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Локальне кільцекомутативне кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R локальне кільце з максимальним ідеалом , то фактор-кільце є полем і називається полем лишків локального кільця R.

Приклади[ред.ред. код]

  • Будь-яке поле або кільце нормування є локальним.
  • Локальним є також кільце формальних степеневих рядів над полем k або над будь-яким локальним кільцем. Навпаки, кільце многочленів не є локальним кільцем.

Локалізація[ред.ред. код]

До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізация.

Нехай R — комутативне кільце, а простий ідеал в R. Кільце , яке складається з дробів виду , де , є локальним і називається локалізацією кільця R в . Максимальним ідеалом кільця є ідеал , а поле лишків ототожнюється з полем часток фактор-кільця що є областю цілісності. Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу. Будь-яке фактор-кільце локального кільця також локально.

Властивості[ред.ред. код]

Властивість кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець (відповідно модулів або алгебри ) для всіх простих ідеалів кільця R.

Степені максимального ідеалу локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або -адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є віддільною (теорема Крулля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Кільця Нетер[ред.ред. код]

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця. Локальне кільце називається повним локальним кільцем, якщо воно є повним щодо -адичної топології; в цьому випадку . У повному локальному кільці -адична топологія слабша за будь-яку іншу віддільну топологію (теорема Шевалле). Будь-яке повне локальне кільце представляється як фактор-кільце кільця формальних степеневих рядів, де S — поле або повне кільце дискретного нормування.

Тонше, кількісне дослідження локального кільця R зв'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця . Нехай — розмірність векторного простору над полем лишків ; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом від n, який називається многочленом Гільберта - Самюеля локального кільця R. Цей факт можна виразити в термінах ряду Пуанкаре: формальний ряд

є раціональною функцією вигляду де — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню . Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця. Крім того, d(R) рівне найменшому числу елементів , для яких фактор-кільце є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал , то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем. Регулярність R еквівалентна тому, що . Для d-вимірного регулярного кільця R

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]