Локальне поле

Локальне поле — певний тип полів з топологією, що часто виникають як поповнення полів. Ця топологія породжується для цих полів деяким абсолютним значенням. Локальні поля пов'язані із глобальними полями — скінченними розширеннями раціональних чисел і раціональних функцій однієї змінної над скінченними полями.

Означення

Локально компактне топологічне поле з недискретною топологією називається локальним.

Типи локальних полів

Існує два основних види локальних полів: ті, в яких абсолютне значення є архімедовим, і ті, в яких це не так. Перші називають архімедовими локальними полями, а другі — неархімедовими локальними полями .

Неархімедові локальні поля можна також охарактеризувати як повні поля щодо дискретного нормування для яких поле лишків є скінченним.

Будь-яке локальне поле є ізоморфним (як топологічне поле) одному з таких полів:

• Архімедові локальні поля (характеристика дорівнює нулю): поле дійсних чисел $\mathbb {R}$ і поле комплексних чисел $\mathbb {C}$ із стандартними топологіями для цих полів.
• Неархімедові локальні поля нульової характеристики: р-адичні числа $\mathbb {Q} _{p}$ і їх скінченні розширення.
• Неархімедові локальні поля характеристики $p\neq 0$: формальні ряди Лорана над скінченним полем $\mathbb {F} _{p^{n}}$ і їх скінченні розширення.

Властивості

Абсолютне значення

Якщо на локальному полі K задано відповідне абсолютне значення то на K можна ввести топологію: для додатного дійсного числа m, позначимо B_m підмножину K рівну

$B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.$

Тоді b+B_m є базою околів точки b у K. Навпаки, якщо задана локально компактна недискретна топологія то адитивна група локального поля, як будь-яка локально компактна топологічна група, допускає єдину (з точністю до множення на додатне число) міру Хаара μ. На полі $K$ можна ввести абсолютне значення $|a|$ як

$|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)}}$

для деякого (а тому і будь-якої) вимірної підмножини $X\subset K$ з ненульовою скінченною мірою Хаара.

Неархімедові локальні поля

У неархімедовому локальному полі $K$ з абсолютним значенням $|{*}|$ можна дати наступні означення:

• Кільце цілих чисел

${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$

Воно утворює кільце дискретного нормування і компактну кулю в $(K,|{*}|)$.

• Одиниці в кільці цілих чисел визначаються як ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$.

Вони утворюють групу і одиничну сферу в $(K,|{*}|)$.

• Єдиний ненульовий простий ідеал ${\mathfrak {m}}$ в кільці цілих чисел є відкритою одиничною кулею

$\{a\in K:|a|<1\},$

і його породжуючий елемент $\omega \in {\mathfrak {m}}$ називається уніформізуючим елементом $K$.

• Поле лишків $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ є скінченним, оскільки воно є компактним і дискретним.
• При цьому $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$, де $|k|$ — потужність поля лишків $k$.

• Кожен ненульовий елемент $a\in K$ можна записати як $a=\omega ^{n}\cdot u$, де $u$ — одиничний елемент, $n$ — ціле число, яке визначається однозначно за $a$.
• Зокрема $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Див. також

• Абсолютне значення (алгебра)
• Нормування (алгебра)
• P-адичне число

Література

• Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, т. 121 (вид. Second), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 67, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237, Zbl 0423.12016
• Weil, André (1995), Basic number theory, Classics in Mathematics, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 3-540-58655-5