Локально компактний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В топології локально компактний простіртопологічний простір, що в деякому околі кожної своєї точки «подібний» до деякого компактного простору. Найчастіше в означенні локально компактного простору вимагається щоб довільна його точка мала компактний окіл.

Деякі автори при означенні вимагають сильніші властивості: існування замкнутого компактного околу чи бази околів з компактних множин. У випадку гаусдорфового простору всі ці вимоги є еквівалентними.

Приклади[ред. | ред. код]

Приклади локально компактних просторів:

Простори, що не є локально компактними:

  • Простір як топологічний підпростір площини.

Властивості[ред. | ред. код]

  • У локально компактному гаусдорфовому просторі для будь-якої компактної підмножини її компактні околи утворюють базу околів множини . Зокрема для кожної точки її компактні околи (які існують за означенням локальної компактності) утворюють базу околів точки.
Якщо простір є компактним і є деяким відкритим околом множини , то доповнення є компактною множиною, як замкнута підмножина компактного простору. Оскільки і є компактними підмножинами гаусдорфового проcтору, що не перетинаються, то існують також відкриті околи і із порожнім перетином. Оскільки є підмножиною замкнутої множини то і її замикання Але також тож і і також є компактною, як замкнута підмножина компактного простору. Тобто кожен відкритий окіл містить компактний окіл цієї множини, що й доводить те, що компактні околи утворюють базис околів множини .
У загальному випадку для локально компактних просторів для кожної точки існує компактний окіл , що містить відкритий окіл цієї точки. Відкриті околи утворюють покриття компактної множини і тому існує скінченне підпокриття Тоді для відповідних компактних околів об'єднання є компактним околом . Тоді для будь-якого відкритого околу множини множина є відкритим околом у компактному просторі Тому із попереднього випливає існування компактної (у а тому й у ) множини для якої тобто довільний відкритий окіл компактної множини знову ж містить компактний окіл.
  • Локально компактний гаусдорфів простір є цілком регулярним. Більше того для кожної компактної підмножини локально компактного простору і її відкритого околу існує неперервна функція така, що і також а носій функції є компактною підмножиною , зокрема Цілковита регулярність є частковим випадком цього твердження у випадку якщо є одноточковою підмножиною.
  • Замкнутий підпростір локально компактного простору є теж локально компактним.
За означенням для кожної точки існує компактний окіл у просторі . Але тоді є замкнутою підмножиною компактного простору і тому теж є компактною підмножиною простору , а тому простору і простору . Тобто кожна точка має компактний окіл у і цей підпростір теж є локально компактним.
  • Для довільного гаусдорфового простору локально компактний підпростір є локально замкнутим (тобто замкнутою підмножиною деякої відкритої підмножини X; еквівалентно якщо він є рівний перетину деякої відкритої і замкнутої множин або різницею замкнутих підмножин). Навпаки для локально компактного гаусдорфового простору довільний локально замкнутий підпростір є локально компактним.
Якщо є локально компактним підпростором гаусдорфового простору то для кожної точки існує компактна підмножина і відкрита підмножина для яких (це і означає в даному випадку, що є компактним околом у просторі ). Об'єднання множин є відкритим околом і достатньо довести, що є замкнутою підмножиною Нехай Тоді для деякого і y і є двома компактними підмножинами із порожнім перетином. Оскільки простір є гаусдорфовим звідси випливає існування відкритих околів і із порожнім перетином. Очевидно можна вибрати також і у цьому випадку Отже для кожної точки існує відкритий окіл (у ) цієї точки, що не перетинається з . Тобто є замкнутою підмножиною відкритої множини
Навпаки, якщо є локально компактним гаусдорфовим простором, є замкнутою підмножиною деякої відкритої множини і то із попереднього існує компактний окіл . Множина є замкнутою у як компактна підмножина гаусдорфового простору . Відповідно є замкнутою підмножиною у і тому компактною. Відповідно є компактним околом x у E.
  • З попереднього випливає, що щільна підмножина локально компактного гаусдорфового простору є локально компактною тоді і тільки тоді, коли вона є відкритою.
  • Одноточкова компактифікація топологічного простору є гаусдорфовою тоді і тільки тоді, коли є локально компактним гаусдорфовим простором.
  • Добуток топологічних просторів є локально компактним тоді і тільки тоді, коли всі ці простори є локально компактними і всі вони, можливо за винятком скінченної кількості є компактні.
  • Факторпростір локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим. Навпаки, будь-який компактно породжений гаусдорфів простір є факторпростором деякого локально компактного гаусдорфового простору.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Kelley, John (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
  • Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR507446, ISBN 978-0-486-68735-3
  • Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).