Локалізація кільця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В комутативній алгебрі локалізацією комутативного кільця R (з одиницею) по мультиплікативній системі називається простір формальних дробів з чисельниками з R і знаменниками з S з арифметичними операціями і ототожненнями, звичайними для дробів. Використовується також термін кільце часток. Позначається як S-1R .

Термін локалізація походить з алгебраїчної геометрії: якщо R  — це кільце функцій на алгебраїчному многовиді V, то для того, щоб вивчити локальні властивості цього многовида в точці p, зазвичай розглядають множину функцій, які не рівні нулю в цій точці і локалізують R по цій множині.

Звичайне позначення для локалізації (або кільця часток)  — S-1R, проте в окремих випадках частіше вживають інші позначення. Так, якщо S  — доповнення простого ідеалу I, локалізація R позначається як RI (і називається локалізацією кільця по простому ідеалу), а якщо S  — множина всіх степенів елемента f, використовується позначення Rf . Останні два випадки є фундаментальними для теорії схем.

Формальне визначення[ред. | ред. код]

За допомогою формальних дробів[ред. | ред. код]

Мультиплікативною системою в кільці R називається підмножина S в R, така що і множина S є замкнутою щодо множення в кільці R, тобто з того що випливає, що також .

Елементами локалізації кільця R по мультиплікативній системі S є формальні дроби виду r/s, де r  — довільний елемент R, а s  — елемент множини S. Два дроби і вважаються еквівалентними (є представниками одного і того ж елемента кільця часток), якщо для деякого елемента справедливо . Якщо R  — цілісне кільце, тобто в ньому немає дільників нуля то очевидно для нього має виконуватися простіше правило еквівалентності: два дроби і є еквівалентними, якщо .

Операції додавання і множення визначаються як звичайно для дробів:

Перевіряється, що, якщо в сумі або добутку дроби замінити на еквівалентні, новий результат буде дробом, еквівалентним попередньому. З такими операціями множина набуває структури комутативного кільця з одиницею. Нулем в ньому є дріб 0/1, одиницею  — дріб 1/1. Елементи початкового кільця R можна ідентифікувати з елементами виду r/1 в кільці S -1 R. Відображення , що відображає елемент r в r/1 є гомоморфізмом кілець.

Через універсальну властивість[ред. | ред. код]

Нехай, як і вище R — комутативне кільце з одиницею і S деяка його мультиплікативна система.

Локалізація кільця R по мультиплікативній системі S має наступну властивість універсальності:

тобто образи елементів з S у кільці є оборотними елементами і окрім того для любих гомоморфізмів , для яких тобто образи елементів з S є оборотними, існує єдиний гомоморфізм для якого .

Дана властивість повністю визначає локалізацію R по S: Якщо деяке інше кільце задовольняє умову універсальності подану вище то воно є ізоморфним до

Властивості[ред. | ред. код]

  • Кожен оборотний елемент кільця S-1R має вигляд er/s, де r і s належать множині S, а e  — оборотний елемент кільця R.
  • Кожен ідеал кільця S-1R є породжений елементами з множини де I  — деякий ідеал кільця R.
  • Існує бієкція між множиною простих ідеалів кільця S-1R і множиною простих ідеалів R, що не перетинаються з множиною S.
  • Якщо, як вище, ідеали IS і JS кільця S -1R породжені елементами і де I і J  — ідеали кільця R, то ідеали IS + JS , ISJS породжені елементами з і відповідно. Також (радикал ідеалу) породжується елементами з
  • Як наслідок з попереднього, нульрадикал кільця S-1R породжується образами нульрадикала кільця R при канонічному відображенні.
  • Нехай I  — ідеал кільця R, і — природна проекція на фактор кільце. Для мультиплікативної системи S, що не перетинається з I позначимо через T образ цієї множини при цій проекції. Тоді p породжує сюр'єктивний гомоморфізм і кільця і є ізоморфними.
  • Нехай  — мультиплікативні системи в кільці R і Тоді кільце часток є ізоморфним кільцю
  • Локалізація кілець Нетер, Артіна і Дедекінда теж є кільцями відпвідно Нетер, Артіна і Дедекінда.

Локалізація по простому ідеалу[ред. | ред. код]

Важливий окремий випадок локалізації  — локалізація кільця по простому ідеалу I, коли мультиплікативна система є доповненням цього ідеалу в кільці. В цьому випадку локалізація позначається як RI. Для локалізації кільця по простому ідеалу справедливі такі властивості:

  • Локалізація RI по простому кільці є локальним кільцем. Його єдиний максимальний ідеал породжується образами ідеала I.
  • Існує бієкція між простими ідеалами в RI і простими ідеалами в R, що містяться у I.
  • Якщо S  — мультиплікативна система, що не перетинається з I, то RI є ізоморфним
  • Зокрема поле часток кільця R є ізоморфним полю часток кільця RI.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Якщо R  — цілісне кільце, множина всіх його ненульових елементів утворює мультиплікативну систему. Кільце часток за цією системою є полем і називається полем часток, зазвичай позначається Quot (R). Всі елементи поля часток мають вигляд a/ b, де a, b  — елементи R і b ≠ 0, зі звичайними арифметичними правилами скорочення чисельника і знаменника, додавання і множення. Легко бачити, що поле часток  — найменше поле, в яке можна вкласти R. Наприклад, поле часток поля є ізоморфним самому полю.
  • Полем часток кільця цілих чисел є поле раціональних чисел .
  • Степені числа 10 в утворюють мультиплікативну систему. Кільцем часток по ній буде кільце скінченних десяткових дробів.
  • Полем часток кільця многочленів над полем k буде поле раціональних функцій .
  • Парні числа в утворюють простий ідеал. Локалізацією кільця по ньому буде кільце раціональних дробів, у яких в нескоротному вигляді знаменник  — непарне число.
  • Розглянемо кільце многочленів k[x] і f = x. Тоді Rf  — кільце многочленів Лорана k[x, x-1].
  • Якщо R  — евклідове кільце, то всяке кільце, проміжне між R і його полем часток, є локалізацією кільця R за деякою мультиплікативною системою S.
  • Якщо система S складається з одних тільки оборотних елементів кільця R, канонічний гомоморфізм кільця R в S -1 R перетворюється в ізоморфізм, тобто S -1 R в цьому випадку є ізоморфним кільцю R.

Модулі часток[ред. | ред. код]

Приблизно таку ж конструкцію можна застосувати і до модулів і для довільного R-модуля M розглянути локалізацію модуля S -1 M .

Локалізація модуля S-1M  — це множина формальних дробів виду m/s із відношенням еквівалентності , якщо , для деякого елемента , зі звичайною операцією додавання дробів, а також з операцією множення на елементи кільця S -1R виду m/s * a/s'= am / ss' .

Еквівалентно, як і для випадку кілець локалізацію модуля можна визначити за допомогою універсальної властивості аналогічної випадку кілець.

Нехай  — гомоморфізм R-модулів. Він індукує гомоморфізм S-1R-модулів , що відображає m/s в u(m)/s . Очевидно, що , тобто операція S-1 є функтором. Більш того, цей функтор є точним. Тобто, якщо послідовність є точною, то і індукована послідовність є точною.

З цього випливає, що якщо є підмодулем , то і є підмодулем . Якщо ж ми розглянемо два підмодуля даного модуля, то застосування до них S -1 комутує із операцією суми модулів, перетину модулів і операцією переходу до фактормодуля. Також локалізація тензорного добутку двох R-модулів ізоморфна тензорному добутку їх локалізацій.

Локалізацію модуля також можна записати за допомогою тензорного добутку:

З цього запису і з точності функтора локалізації випливає, що модуль є плоским.

R-модуль M є нульовим тоді і тільки тоді коли для довільного простого ідеала I локалізація M по I є нульовим модулем. Те саме твердження справедливе, якщо замість простих ідеалів розглядати лише максимальні.

Локальні властивості[ред. | ред. код]

Властивість P кільця А (або А - модуля M) називається локальною якщо такі твердження еквівалентні:

  • R (відповідно M) має властивість P,
  • RI (відповідно MI ) має властивість P для всіх простих ідеалів I кільця А.

Можна навести такі приклади локальних властивостей: властивість модуля бути рівним нулю, властивість гомоморфізму бути ін'єктивним або сюр'єктивним (потрібно розглядати гомоморфізми, індуковані локалізацією), властивість модуля бути плоским.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]