Локон Аньєзі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Локон Аньєзі

Локон Аньєзі — плоска крива третього порядку, геометричне місце точок , для яких виконується співвідношення ,

де — діаметр кола, — напівхорда цього кола, перпендикулярна до .

Свою назву "локон Аньєзі" крива отримала на честь італійської математикині Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Рівняння[ред. | ред. код]

,

  • Параметричне рівняння:
, де параметр — кут між і , приймає значення:


Раціональна параметризація для кривої має вигляд:

 ; параметр t приймає значення:

Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Локон Аньєзі — крива третього порядку.
  • Діаметр єдина вісь симетрії кривої. Вісь Ох — її асимптота.
  • Крива має один максимум — і дві точки перегину . Вони лежать на прямих (кут ) [1] [2] :стор.238
  • В околі вершини локон наближається до кола діаметром . У точці відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці : .
  • Площа під графіком (між кривою і асимптотою): . [1] [2] :стор.238 [3] Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій числовій прямій [4], і дорівнює площі визначального круга, помноженій на 4.

Центр мас фігури, обмеженої кривою та її асимптотою лежить на осі симетріі, на відстані від асимптоти, тобто в точці з координатами [2] :стор.238

Найбільший за площею прямокутник, який можна вписати між кривою та її асимптотою, має висоту, що дорівнює радіусу визначального кола, і ширину, що дорівнює подвоєному діаметру кола. Його площа: . [3]

  • Об'єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо своєї асимптоти (осі ): .[1] [2] :стор.238 . Цей об'єм вдвічі більше за об'єм тора, утвореного при обертанні визначального кола локона навколо цієї ж прямої.[3]

Побудова[ред. | ред. код]

Побудова локону Аньєзі
  1. Будуємо коло діаметром і через нижню точку кола О проводимо дотичну Ox.
  2. Через верхню точку кола A (діаметрально протилежну до О) проводимо пряму, паралельну до Ох.
  3. Через точку О проводимо січну ОL, яка перетинає коло в точці C і верхню пряму в точці L.
  4. Через точку C проводимо пряму, паралельну до Ох, а через L проводимо пряму, паралельну до діаметра ОA. Ці дві прямі перетинаються в точці M, яка належить локону Аньєзі.

Споріднена крива[ред. | ред. код]

Крива, що носить назву "псевдо-локон" утворюється шляхом подвоєння ординат локона Аньєзі. Цю криву досліджував Дж. Грегорі в 1658 і використовував Готфрід Лейбніц у 1674 році, виводячи вираз: [2] :стор.238

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б в Lawrence, J. Dennis (2013), 4.3 Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, с. 90–93, ISBN 9780486167664 
  2. а б в г д Yates, Robert C. (1954), Witch of Agnesi, Curves and their Properties, Classics in Mathematics Education, т. 4, National Council of Teachers of Mathematics, с. 237–238 
  3. а б в Larsen, Harold D. (January 1946), The Witch of Agnesi, School Science and Mathematics, 46 (1): 57–62, doi:10.1111/j.1949-8594.1946.tb04418.x 
  4. Witch of Agnesi (англ). 

Посилання[ред. | ред. код]