Лінійна алгебрична група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці, лінійною алгебричною групою називається підгрупа групи оборотних матриць розмірності n×n (з операцією множення матриць), що задається поліноміальними рівняннями. Еквівалентно лінійною алгебричною групою називається афінний многовид, що одночасно є групою операції на якій є морфізмами афінних многовидів. Еквівалентність двох означень є одним з найважливіших результатів теорії цих груп.

Головними прикладами лінійних алгебричних груп є деякі класичні групи Лі, для яких поле є дійсним чи комплексним полем. (Наприклад, будь-яка компактна група Лі може розглядатися як група дійсних точок дійсної лінійної алгебричної групи, завдяки теоремі Петера — Вейля.

Теорія лінійних алгебричних груп значно залежить від поля над яким ці групи задані, як афінні многовиди. Для алгебрично замкнутих полів (особливо характеристики 0) лінійні алгебричні властивості мають багато спільного з групами Лі. Для довільних полів теорія є складнішою і не настільки добре вивченою. У перших розділах статті описуються властивості для алгебрично замкнутих полів.

Історія[ред. | ред. код]

Теорія лінійних алгебричних груп виникла з потреб рзв'язування лінійних диференціальних рівнянь в квадратурі (так звана теорія Галуа диференціальних рівнянь) наприкінці 19 століття у пряцях Софуса Лі, Людвіга Маурера, Вільгельма Кіллінга, Елі Картана і початкове вивчення лінійних алгебричних груп над полем комплексних чисел проводилося по аналогії з теорією груп Лі методом алгебр Лі. Лінійна алгебрична група над полем комплексних чисел може розглядатися як аналітична підгрупа групи .

Методи теорії алгебричних груп і алгебр Лі в середині 20 століття були істотно вдосконалені і узагальнені Клодом Шевальє, що дозволило йому застосувати їх до вивчення лінійних алгебричних груп над довільними полями нульової характеристики. Для полів ненульової характеристики метод алгебр Лі є менш ефективним, так що природно виникла необхідність глобального дослідження лінійних алгебричних груп з допомогою методів алгебричної геометрії. Основи глобального дослідження лінійних алгебричних груп були закладені Арманом Борелем.

Означення[ред. | ред. код]

Лінійна алгебрична група є за означенням, афінним алгебричним многовид G на якому задані два морфізми

що задовольняють звичні аксіоми групи.

Гомоморфізм груп (як абстрактних груп), що є також морфізмом алгебричних многовидів, називається гомоморфізмом алгебричних груп. Підгрупа (у розумінні абстрактної теорії груп) лінійної алгебричної групи, що є також замкнутою множиною у топології Зариського має структуру лінійної алгебричної групи і називається підгрупою лінійної алгебричної групи.

Багато базових понять абстрактної теорії груп можна ввести також і для лінійних алгебричних груп. Наприклад, нормалізатор, центр, і централізатор замкнутої підгрупи H деякої лінійної алгебричної групи G є також замкнутими і тому лінійними алгебричними групами.

Еквівалентно означення лінійної алгебричної групи можна дати за допомогою структури алгебри Хопфа (тобто алгебр із додатковою узгодженою коалгебричною структурою) на координатній алгебрі . Групові операції, як морфізми афінних многовидів тоді визначають на координатній алгебрі операції і , а одиничний елемент задає гомоморфізм .

Задані таким чином відображення задовольняють властивості комноження, антипода і коодиниці і разом з операціями у алгебрі утворюють структуру алгебри Хопфа на . Навпаки якщо на деякій скінченнопородженій цілісній редукованій алгебрі над полем задана структура алгебри Хопфа, то розглядаючи відповідний афінний многовид морфізми, що відповідають комноженню і антиподу і елемент, що відповідає коодиниці будуть множенням, обертанням і одиницею групи. Відповідно многовид буде лінійною алгебричною групою.

Іншими словами функтор , що ставить у відповідність лінійній алгебричній групі її координатну алгебру задає еквівалентність категорій лінійних алгебричних груп і алгебр Хопфа.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Група називається мультиплікативною групою. Алгеброю Хопфа мультиплікативної групи є з комноженням заданим як , антиподом і коодиницею .
  • Група елементів k (з операцією додавання), що називається адитивною групою може також бути записана як матрична група, елементами якої є матриці виду:
Алгеброю Хопфа адитивної групи є з комноженням заданим як , антиподом і коодиницею .
Координатна алгебра цієї групи рівна , де — координатні функції на матриці. Комноження задається на базисних елементах як , а значенням антипода - — елемент матриці . Коодиниця на базисних елементах задається як .
.

Основні властивості[ред. | ред. код]

  • Для будь-якої алгебричної групи G, що є афінним многовидом з узгодженою структурою існує точне лінійне представлення V, що також є морфізмом многовидів, тобто, G є замкнутою підгрупою . Таким чином два можливих означення цих груп, як афінних многовидів і замкнутих (в топології Зариського) підгруп загальної лінійної групи є еквівалентними.
  • Лінійна алгебрична група є незвідною тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.
  • У лінійній алгебричній групі G існує єдина компонента одиниці , тобто компонента зв'язності що містить одиничний елемент алгебричної групи G. є нормальною підгрупою скінченного індексу. Будь-яка замкнута підгрупа скінченного індексу групи містить компоненту одиниці.
  • Ядро гомоморфізму лінійних алгебричних груп є замкнутою нормальною підгрупою. Образ гомоморфізму є замкнутою підгрупою. Образ компоненти одиниці при гомоморфізмі лінійних груп буде рівним компоненті одиниці образу гомоморфізму.
  • Нехай — лінійна алгебрична група і — множина її замкнутих зв'язаних підгруп. Тоді підгрупа породжена цією множиною підгруп буде замкнутою і зв'язаною і існує така скінченна підмножина з цих підгруп (позначимо їх ) що .
  • Нехай — лінійна алгебрична група і — її представлення як підгрупи . Тоді для кожного елемента існують єдині елементи і такі, що і також , де позначають напівпросту і уніпотентну компоненти розкладу Жордана — Шевальє відповідних ендоморфізмів. До того ж елементи не залежать від вибору і якщо гомоморфізм лінійних алгебричних груп то також . Елементи називаються напівпростою і уніпотентною частинами елемента групи. Елементи групи називаються напівпростими і унівалентними, якщо вони рівні, відповідно, своїй напівпростій і унівалентній частині. Якщо , то є напівпростою і уніпотентною компонентами розкладу Жордана — Шевальє.

Алгебра Лі групи G[ред. | ред. код]

Алгебра Лі алгебричної групи G може бути описана кількома еквівалентними способами: як дотичний простір в одиничному елементі або як простір лівоінваріантних диференціювань, тобто, диференціювань координатного кільця G для яких

де є лівим множенням для елемента .

Для фіксованого диференціювання спряження називається приєднаним представленням:

Зв'язок між алгебричною групою G і її алгеброю Лі k є особливо тісним для полів характеристики нуль.

У цьому випадку замкнута зв'язана підгрупа H лінійної алгебричної групи G однозначно визначається своєю підалгеброю Лі .

Натомість не кожна підалгебра Лі відповідає якійсь лінійній алгебричній групі. Наприклад у випадку загальної лінійної групи порядку n у алгебрично замкнутому полі її алгеброю Лі є алгебра усіх ендоморфізмів n-вимірного векторного простору (чи еквівалентно усіх квадратних матриць порядку n). При цих умовах підалгебра Лі буде алгебричною (тобто алгеброю Лі деякої лінійної алгебричної групи) тоді і тільки тоді коли разом з елементом цій алгебрі також належать елементи і (де - напівпроста і нільпотентна компоненти адитивного розкладу Жордана — Шевальє) і якщо діагоналізація напівпростого ендоморфізму має вигляд то алгебрі також належать усі ендоморфізми виду , де — деяке -лінійне відображення базового поля k.

У випадку полів додатної характеристики різним зв'язаним підгрупам може відповідати одна алгебра Лі.

Основні типи груп і підгруп і класифікація[ред. | ред. код]

Тори і діагоналізовні групи[ред. | ред. код]

Група що є ізоморфною , (добутку n копій мультиплікативної групи, називається алгебричним тором. Зокрема, група діагональних матриць розмірності n є тором.

Для лінійної алгебричної групи підгрупа називається максимальним тором, якщо вона є алгебричним тором і не є власною підмножиною жодного іншого тора. Наприклад підгрупа діагональних матриць є максимальним тором групи усіх невироджених матриць розмірності n. Усі максимальні тори є спряженими підгрупами. Розмірність максимальних торів називається рангом алгебричної групи.

Алгебричні групи що є ізоморфними замкнутій підгрупі називаються діагоналізовними. Ці групи визначаються своїми характерами , тобто, гомоморфізмами алгебричних груп

Множина таких характерів є абелевою групою для будь-якої G. Зіставлення

задає еквівалентність категорій діагоналізовних алгебричних груп і абстрактних абелевих групи без p-кручення, де p є характеристикою поля k.

Для будь-якої (не обов'язково діагоналізовної) G, група кохарактерів є двоїстою групі характерів.

Діагоналізовна група є прямим добутком тора і скінченної абелевої групи порядок якої є числом взаємно простим із характеристикою основного поля. При цьому вона є тором тоді і тільки тоді коли вона є зв'язаною.

Розв'язні групи і підгрупи Бореля[ред. | ред. код]

Лінійна алгебрична група називається розв'язною, якщо вона є розв'язною як абстрактна група. Згідно теореми Лі — Колчина будь-яка зв'язна розв'язна група (якщо її розглядати як замкнуту підгрупу загальної лінійної групи) є спряженою деякій підгрупі .

Згідно теорема Бореля про фіксовану точку зв'язана розв'язна група G що діє на непустому повному алгебричному многовиді X має точку x що фіксується усіма .

Важливими для вивчення і класифікації лінійних алгебричних груп є підгрупи Бореля, тобто, максимальні зв'язні нормальні розв'язні підгрупи. Наприклад, підгрупою Бореля групи є підгрупа верхніх трикутних матриць (для яких всі елементи нижче діагоналі є рівними нулю). Підгрупи Бореля B G дозволяють звести деякі питання про алгебричні групи до розв'язних груп. Наприклад, будь-який тор T міститься в деякій підгрупі Бореля B. Кожен елемент групи теж належить деякій підгрупі Бореля.

Для підгрупи H групи G, на факторпросторі G/H можна ввести структуру алгебричного многовида. Підгрупи Бореля є мінімальними серед підгруп для яких цей факторпростір є проективним многовидом, тобто, ізоморфним замкнутій множині в деякому .

Підгрупи G що містять підгрупу Бореля називаються параболічними. Наприклад, параболічними підгрупами групи що містять підгрупу Бореля є

і

Уніпотентні групи[ред. | ред. код]

Ще одним важливим прикладом є підгрупа де усі діагональні елементи є рівними 1. Матриці A у цій групі є уніпотентними, тобто, є нільпотентними. Група є напівпрямим добутком груп і . Більш загально, будь-яка зв'язна розв'язна група G є напівпрямим добутком

де T максимальний тор і підгрупа уніпотентних елементів.

Напівпроста і редуктивна групи[ред. | ред. код]

Радикалом R(G) лінійної алгебричної групи G називається максимальна зв'язна розв'язна підгрупа G. Пов'язаним є поняття уніпотентного радикалу що складається з уніпотентних елементів . Якщо підгрупа (відповідно ) є тривіальною, то G називається напівпростою (відповідно редуктивною). Наприклад, радикал є рівним центру (що є ізоморфним ) і не містить уніпотентних елементів за винятком 1, тож є редуктивною групою. Подібним чином доводиться, що є напівпростою групою.

Класифікація лінійних алгебричних груп[ред. | ред. код]

Класифікація лінійних алгебричних груп в основному зводиться до класифікації для двох типів лінійних алгебричних груп: напівпростих і розв'язних. Фундаментальним результатом є класифікація Клодом Шевальє напівпростих (і, більш загально, редуктивних) лінійних алгебричних груп над алгебрично замкнутими полями довільної характеристики. Ця класифікація аналогічна класифікації Картана — Кіллінга комплексних напівпростих груп Лі. Класифікація Шевальє ґрунтується на тому, що для напівпростих алгебричних груп будуються аналоги елементів теорії Картана — Кіллінга — підгрупа Картана (що за означенням рівна централізатору максимального тора), корені і т. д. Важливу роль при цьому відіграють підгрупи Бореля і максимальні алгебричні тори.

Нехай — напівпроста лінійна алгебрична група, — її максимальний тор, — нормалізатор у , — група Вейля групи . Тор T міститься лише в скінченній кількості підгруп Бореля групи , які транзитивно переставляються спряженням елементами з . За допомогою підгруп Бореля, що містять , будуються мономорфізми адитивної групи поля в підгрупи Бореля (що містять ), які відіграють роль коренів. За допомогою техніки розкладів Брюа доводиться, що зазначена система структурних елементів допускає повну класифікацію і визначає групу з точністю до ізоморфізму. Остаточна класифікація напівпростих груп не залежить від характеристики основного поля і тому збігається з класифікацією комплексних напівпростих алгебричних груп.

Теорія для загальних полів[ред. | ред. код]

Теорія лінійних алгебричних груп над полем k, що не є алгебрично замкнутим є складнішою, ніж у випадку алгебрично замкнутого. Наприклад, у цьому випадку є важливі відмінності між k-розкладними торами (що є ізоморфними над полем k) і торами, що не розкладаються. Останні розкладаються після переходу до скінченного розширення поля k.

Якщо у групі немає максимальних торів, що розкладаються, важливим є дослідження k-розкладних торів і максимальних елементів серед них. У разі довільного поля k максимальні k-розкладні тори відіграють роль, аналогічну ролі максимальних алгебричних торів в групі G над алгебрично замкнутим полем. Максимальні k-розкладні тори в є спряженими. Якщо у групі є розщеплений тор розмірності принаймні 1 то група називається ізотропною. В іншому випадку вона називається анізотропною. k-ізотропність для напівпростої групи G еквівалентна тому, що група G має неодиничні уніпотентні елементи.

Роль підгрупи Бореля в разі довільного поля до відіграє мінімальна параболічна k-підгрупа, тобто мінімальна k-визначена підгрупа G, що містить підгрупу Бореля. Природно означається коренева система щодо максимального k-розкладного тора в G і відповідна група Вейля. Якщо група має k-розкладний максимальний тор, то ці структурні елементи не залежать від поля k і визначають такі групи з точністю до k-ізоморфізмів. Групи, які мають k-розкладні максимальні тори, називаються k-розкладними, або групами Шевальє.

Застосування[ред. | ред. код]

Дія групи і геометрична теорія інваріантів[ред. | ред. код]

В алгебричній геометрії часто важливою є дія лінійної алгебричної групи на алгебричному многовиді

Такі дії на практиці часто виникають коли G є деякою групою автоморфізмів; Наприклад є групою усіх автоморфізмів n-вимірного векторного простору, а ортогональна група, групою автоморфізмів, що не змінюють скалярний добуток.

Якщо G є уніпотентною і X афінним многовидом, то кожна G-орбіта є замкнутою.

Об'єктом геометричної теорії інваріантів є вивчення факторпростору

G-дії на X. Загалом цей факторпростір може не бути алгебричним многовидом оскільки кільце (для афінного многовида X)

G-інваріантних функцій на X може не бути скінченнопородженим. Згідно теореми Габуша проте це кільце є скінченнопородженим якщо G є редуктивною групою; зокрема це справедливо для групи , що було доведено Гільбертом.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]