Лінійна функція

Ліні́йна фу́нкція — в математиці, позначає два споріднені поняття:

1. Лінійну функцію в елементарній математиці,
2. Лінійне відображення у вищій математиці.

Лінійна функція

Три графіки лінійних функцій — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Лінійна функція задається рівнянням:

$y=kx+b$.

Лінійна функція зростає при кутовому коефіцієнті $k>0$ та спадає при $k<0$. Графіком лінійної функції є пряма лінія, що проходить через точку $M(0,b)$ паралельно графіку функції $y=kx$. Якщо $k=0$, графік лінійної функції є пряма, паралельна осі абсцис, що проходить через точку $b$ на осі ординат.

Функція виду $y=kx$ проходить через початок координат, і утворює з віссю абсцис кут, тангенс якого дорівнює коефіцієнту пропорційності $k$.

Лінійне відображення

Лінійним відображенням (лінійним перетворенням, лінійним оператором) $f$ називається відображення векторного простору $V$ в векторний простір $W$

$f\colon \ V\to W,$

що має властивість лінійності:

$f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad \forall x,y\in V,$    (адитивність)

$f(\alpha x)=\alpha f(x)\qquad \forall x\in V,$    (однорідність)

Лінійний оператор — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення «неперервний» зазвичай опускається.

Нелінійні функції

Для функцій, які не є лінійними (тобто досить довільних), коли хочуть підкреслити деякі характеристики, вживають термін нелінійні функції. Зазвичай це відбувається, коли функціональну залежність спочатку наближають лінійною, а потім переходять до вивчення більш загального випадку, часто починаючи з молодших ступенів, наприклад розглядаючи квадратичні поправки.

Те ж відноситься і до вживання слова нелінійні щодо інших об'єктів, що не мають властивості лінійності, наприклад — нелінійні диференціальні рівняння.

Див. також

• Сублінійна функція
• Мультилінійна функція
• Функція (математика).
• Пряма, Парабола, Гіпербола.

Посилання

• Основні елементарні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 177. — 594 с.