Лінійне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору над полем в векторний простір (над тим же полем )

що має властивість лінійності:

Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:

    адитивність
    однорідність

Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то і ізоморфізмом.

Лінійне відображення — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.

Лінійне відображення, лінійний оператор - узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції у = кх) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, так як їх властивості не залежать від природи величин.

Часткові випадки[ред.ред. код]

  • Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до , який теж є лінійним простором (позначається звичайно )

  • Тотожний оператор — оператор , що відображає кожен елемент простору в самого себе.
  • Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору в нульовий елемент простору

Композиції лінійних відображень[ред.ред. код]

  • Якщо f:VW і g:WZ є лінійними відображеннями, то відображення gf : VZ також є лінійним.
  • Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
  • Якщо f1:VW і f2:VW є лінійними відображеннями, то відображення f1+f2 (визначене як (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x)) теж є лінійним.
  • Якщо f:VW є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

Ядро та образ відображення[ред.ред. код]

  • Ядром лінійного відображення називається така підмножина що:
Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі
  • Образом лінійного відображення називається така підмножина що:
Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі
  • Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:

Число називається ранг і записується як чи Якщо розмірності і скінченні і вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів. І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Матриця лінійного відображення[ред.ред. код]

Якщо в просторі вибрано базис , в просторі вибрано базис , то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора , тобто координат образу j-го базисного вектора

  в базисі

Координати образу вектора в базисі при лінійному відображенні
виражаються через координати вектора в базисі за формулою:

Матриці лінійного відображення в різних базисах[ред.ред. код]

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення в базисах і то

де S і T — матриці переходу від базиса до базиса і від базиса до базиса відповідно:

При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]