Лінійне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Лінійним відображенням (лінійним оператором, лінійним перетворенням) — називається відображення векторного простору V \! над полем K \! в векторний простір W \! (над тим же полем K \!)

f:\,V_K\to W_K,

що має властивість лінійності:

f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) \qquad \forall x,y\in V_K, \quad \forall \alpha,\beta\in K.

Лінійне відображення зберігає операції додавання векторів і множення вектора на скаляр:

f(x+y)=f(x)+f(y) \!     адитивність
f(\alpha x)=\alpha f(x) \!     однорідність

Лінійне відображення векторних просторів є їх гомоморфізмом. А у випадку бієктивності відображення то і ізоморфізмом.

Лінійне відображення — найважливіше поняття лінійної алгебри, завдяки якому вона отримала свою назву.

У функціональному аналізі розглядаються неперервні лінійні оператори між топологічними векторними просторами, але означення "неперервний" зазвичай випускається.

Лінійне відображення, лінійний оператор - узагальнення лінійної числової функції (точніше, функції у = кх) на випадок більш загальної множини аргументів і значень. Лінійні оператори, на відміну від нелінійних, достатньо добре досліджені, що дозволяє успішно застосовувати результати загальної теорії, так як їх властивості не залежать від природи величин.[1]

Часткові випадки[ред.ред. код]

  • Лінійний функціонал — лінійний оператор, для якого W_K = K\!
f:V_K \to K \!

множина всіх лінійних функціоналів складає спряжений простір до ~V, який теж є лінійним простором (позначається звичайно ~V^*)

f:V_K \to V_K \!
  • Тотожний оператор — оператор x \mapsto x, що відображає кожен елемент простору V_K \! в самого себе.
  • Нульовий оператор — оператор, що переводить кожен елемент простору V_K \! в нульовий елемент простору W_K \, .

Композиції лінійних відображень[ред.ред. код]

  • Якщо f:VW і g:WZ є лінійними відображеннями, то відображення gf : VZ також є лінійним.
  • Якщо існує обернене відображення до лінійного відображення, то воно теж є лінійним.
  • Якщо f1:VW і f2:VW є лінійними відображеннями, то відображення f1+f2 (визначене як (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x)) теж є лінійним.
  • Якщо f:VW є лінійним відображенням і a елемент з поля K (базового для V і W), тоді відображення af, визначене як (af)(x) = a (f(x)), також лінійне.

В скінченномірному випадку ці властивості подібні властивостям матриць: множення, додавання і множення на скаляр.

Ядро та образ відображення[ред.ред. код]

  • Ядром лінійного відображення f: V\to W \! називається така підмножина V \! що:
\ker {(f)} = \{ x \in V: f(x)=0 \}
Ядро лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі V. \!
  • Образом лінійного відображення f: V\to W \! називається така підмножина W \! що:
\operatorname{im}(f)=\{ w \in W: w=f(x), x \in V \}
Образ лінійного відображення утворює лінійний підпростір в просторі W. \!
  • Між розмірностями образу і ядра існує таке співвідношення:
 \dim(\ker {f}) + \dim(\operatorname{im}{\,f}) = \dim(V)

Число \dim(\operatorname{im}{\,f}) називається ранг f \! і записується як \operatorname{rank}{(f)} чи \operatorname{rk}{(f)}. Якщо розмірності V \! і W \! скінченні і вибрані базиси, то лінійне відображення задається своєю матрицею відносно до цих базисів. І ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.

Матриця лінійного відображення[ред.ред. код]

Якщо в просторі V \! вибрано базис (e_1, \ldots, e_n) \!, в просторі W \! вибрано базис (f_1, \ldots, f_m) \!, то матрицею лінійного відображення в даних базисах називається матриця

 A = \begin{Vmatrix} 
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\  
& \cdots & \\ 
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
\end{Vmatrix}

j-ий стовпчик якої складається з координат вектора A e_j \!, тобто координат образу j-го базисного вектора

A e_j = (a_{1j} f_1 + \ldots + a_{mj} f_m) \!   в базисі (f_1, \ldots, f_m). \!

Координати (y_1, \ldots, y_m) \! образу Ax \! вектора x \! в базисі (f_1, \ldots, f_m) \! при лінійному відображенні A \!
виражаються через координати (x_1, \ldots, x_n) \! вектора x \! в базисі (e_1, \ldots, e_n) \! за формулою:

\begin{Vmatrix} 
y_1 \\  
\vdots \\ 
y_m 
\end{Vmatrix} = A \begin{Vmatrix} 
x_1 \\  
\vdots \\ 
x_n 
\end{Vmatrix}

Матриці лінійного відображення в різних базисах[ред.ред. код]

Якщо A і Ã відповідно матриці лінійного відображення f \! в базисах (e_1, \ldots, e_n) ; (f_1, \ldots, f_m) \! і (e_1', \ldots, e_n') ; (f_1', \ldots, f_m') \! то

\tilde{A}=T^{-1}AS

де S і T — матриці переходу від базиса (e_1, \ldots, e_n) \! до базиса (f_1, \ldots, f_m) \! і від базиса (e_1', \ldots, e_n') \! до базиса (f_1', \ldots, f_m') \! відповідно:

(e_1', \ldots, e_n')=(e_1, \ldots, e_n)S, \!
(f_1', \ldots, f_m')=(f_1, \ldots, f_m)T. \!

При лінійному перетворенні (тобто, коли відображення в той же простір):

Джерела[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]