Лінійне наближення

У математиці лінійним наближенням, або лінійною апроксимацією, називають наближення похідної функції за допомогою лінійної функції (точніше, афінної функції). Такі наближення широко використовуються в методі скінченних різниць для отримання методів першого порядку для розв'язування рівнянь або побудови їх наближених розв'язків.

Означення

Розглянемо двічі неперервно-диференційовану функцію дійсного числа $f(x)$ в околі точки $a$ . За теоремою Тейлора, має місце рівність

$f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+R_{2},$

де $R_{2}(x)=o(|x-a|)$ — залишковий член.

Якщо відкинути залишковий член $R_{2}(x)$ , то отримаємо лінійне наближення $g(x)$ :

$g(x)=f(a)+f'(a)(x-a).$

При такому наближенні $x$ до $a$ , крива починає нагадувати пряму лінію. Таким чином, функція $g(x)$ є просто рівнянням дотичної до графіка функції $f(x)$ у точці $(a,f(a))$ . З цієї причини цей процес також називають апроксимацією функції її дотичною.

Лінійні наближення додатково покращуються, коли значення другої похідної $f''(x)$ в точці $a$ близьке до нуля, тобто в точці перегину або поблизу неї.

В околі точки $a$ значення $g(x)$ близькі до значень $f(x)$ , тож її можна використовувати як заміну в наближених обчисленнях. Проте в загальному випадку похибка зростає при віддаленні від $a$ і дорівнює $R_{2}$ .

Якщо $f(x)$ опукла на інтервалі $(x,a)$ , то значення $g(x)$ буде більше реального значення функції, оскільки похідна зменшується в цьому інтервалі. Якщо $f(x)$ увігнута, то значення $g(x)$ навпаки буде менше за реальне значення функції.^[1]

Лінійні наближення для вектор-функцій векторної змінної отримують так само, тільки похідну в точці замінюють на матрицю Якобі.Наприклад, неперервно-диференційовану функцію $f(x,y)$ дійсних змінних $(x,y)$ в точці близькій до $(a,b)$ можна наблизити за формулою

$f(x,y)\approx f(a,b)+{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)(x-a)+{\frac {\partial f}{\partial x}}(a,b)(y-b).$

Права частина цієї формули є дотичною площиною до графіку функції $z=f(x,y)$ у точці $(a,b)$ .

У загальному випадку для банахових просторів маємо

$f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a),$

де $Df(a)$ — значення похідної Фреше від функції $f(x)$ в точці $a$ .

Застосування

Оптика

Докладніше: Гауссова оптика

Гауссова оптика — це метод у геометричній оптиці, який описує поведінку світлових променів в оптичних системах за допомогою параксіального наближення, у межах якого розглядаються лише промені, що утворюють малі кути з оптичною віссю системи.^[2] У цьому наближенні тригонометричні функції можна апроксимувати лінійними функціями кутів. Оптика Гауса застосовується до систем, у яких усі оптичні поверхні є або плоскими, або частинами сфери. У цьому випадку можна записати прості явні формули для параметрів оптичної системи, таких як фокусна відстань, збільшення та яскравість, у термінах геометричних форм і матеріальних властивостей елементів оптичної системи.

Період коливань

Докладніше: Маятник

Період коливань простого маятника залежить від його довжини, місцевої сили тяжіння та, незначною мірою, від максимального кута відхилення маятника від вертикалі $\theta$ , який називається амплітудою.^[3] Період коливань не залежить від маси вантажу. Період $T$ простого маятника — це час, необхідний для повного циклу коливання простого гравітаційного маятника, — можна записати у кількох різних формах, однією з яких є нескінченний ряд ^[4]^[5]

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right),$

де $L$ довжина маятника і $g$ — локальне прискорення вільного падіння.

Проте, якщо амплітуда обмежена невеликими коливаннями,^{[Note 1]} можна застосувати лінійне наближення^[6]

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}},\quad \theta \ll 1.$

У лінійному наближенні період коливання є приблизно однаковим для коливань різного розміру, тобто період не залежить від амплітуди. Цю властивість називають ізохронізмом.^[7] Вона і є причиною того, що маятники настільки корисні для вимірювання часу: послідовні коливання маятника, навіть якщо амплітуда змінюється, займають однакову кількість часу.

Електричний опір та електропровідність

Докладніше: Електричний опір та електропровідність

Зазвичай електричний опір матеріалів залежить від температури. Якщо температура $T$ не надто висока, нерідко застосовують лінійну апроксимацію

$\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0}],$

де $\alpha$ називають температурним коефіцієнтом опору, $T_{0}$ — фіксована температура (зазвичай кімнатна температура), $\rho _{0}$ — питомий опір при температурі $T_{0}$ .

Параметр $\alpha$ є емпіричним коефіцієнтом, підібраним на основі експериментальних даних. Оскільки лінійне наближення не дає точних результатів, значення $\alpha$ відрізняється для різних фіксованих температур. З цієї причини зазвичай вказують температуру, при якій був визначений $\alpha$ , додаючи індекс, наприклад $\alpha _{15}$ . Це співвідношення справедливе лише для певного діапазону температур.^[8]

Примітки

↑ Невеликі коливання ― це коливання з достатньо малим кутом $\theta$ , щоб апроксимувати $\sin(\theta )$ за радіанною мірою $\theta$ .

Література

↑ 12.1 Estimating a Function Value Using the Linear Approximation. Архів оригіналу за 3 березня 2013. Процитовано 3 червня 2012.
↑ Lipson, A.; Lipson, S. G.; Lipson, H. (2010). Optical Physics (вид. 4th). Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.
↑ Milham, Willis I. (1945). Time and Timekeepers. MacMillan. с. 188—194. OCLC 1744137.
↑ Nelson, Robert; M. G. Olsson (February 1987). The pendulum – Rich physics from a simple system (PDF). American Journal of Physics. 54 (2): 112—121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. S2CID 121907349. Процитовано 29 жовтня 2008.
↑ Beckett, Edmund; and three more (1911). Clock . У Chisholm, Hugh (ред.). // Encyclopædia Britannica (англ.). Т. 06 (вид. 11-те). Cambridge University Press. с. 534—553, see page 538, second para. Pendulum.— includes a derivation
↑ Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentals of Physics, 5th Ed. New York: John Wiley & Sons. с. 381. ISBN 0-471-14854-7.
↑ Cooper, Herbert J. (2007). Scientific Instruments. New York: Hutchinson's. с. 162. ISBN 978-1-4067-6879-4.
↑ Ward, M. R. (1971). Electrical Engineering Science. McGraw-Hill. с. 36—40. ISBN 0-07-094255-2.

Див. також

Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. Calculus III. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — P. 775. — ISBN 0-387-90985-0.
Strang, Gilbert. Calculus. — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0.
Bock, David; Hockett, Shirley O. How to Prepare for the AP Calculus. — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3.

[6] Невеликі коливання ― це коливання з достатньо малим кутом $\theta$ , щоб апроксимувати $\sin(\theta )$ за радіанною мірою $\theta$ .

[1] 12.1 Estimating a Function Value Using the Linear Approximation. Архів оригіналу за 3 березня 2013. Процитовано 3 червня 2012.

[2] Lipson, A.; Lipson, S. G.; Lipson, H. (2010). Optical Physics (вид. 4th). Cambridge, UK: Cambridge University Press. с. 51. ISBN 978-0-521-49345-1.

[Milham1945-3] Milham, Willis I. (1945). Time and Timekeepers. MacMillan. с. 188—194. OCLC 1744137.

[Nelson-4] Nelson, Robert; M. G. Olsson (February 1987). The pendulum – Rich physics from a simple system (PDF). American Journal of Physics. 54 (2): 112—121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. S2CID 121907349. Процитовано 29 жовтня 2008.

[5] Beckett, Edmund; and three more (1911). Clock . У Chisholm, Hugh (ред.). // Encyclopædia Britannica (англ.). Т. 06 (вид. 11-те). Cambridge University Press. с. 534—553, see page 538, second para. Pendulum.— includes a derivation

[7] Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentals of Physics, 5th Ed. New York: John Wiley & Sons. с. 381. ISBN 0-471-14854-7.

[8] Cooper, Herbert J. (2007). Scientific Instruments. New York: Hutchinson's. с. 162. ISBN 978-1-4067-6879-4.

[9] Ward, M. R. (1971). Electrical Engineering Science. McGraw-Hill. с. 36—40. ISBN 0-07-094255-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[Note 1]

[6]

[7]

[8]