Лінійно зв'язний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Jump to navigation Jump to search

Лінійно зв'язний простір — це такий топологічний простір, в якому будь-які дві точки можна з'єднати безперервною кривою.

Означення[ред.ред. код]

  • Розглянемо відрізок числової прямої з визначеною на ньому стандартної топологією дійсної прямої. Нехай також дано топологічний простір Тоді останній називається лінійно зв'язаним, якщо для будь-яких двох точок знайдеться неперервне відображення таке, що
  • Нехай дана підмножина . Тоді на ньому природним чином визначається топологія , індукована . Якщо простір лінійно зв'язаний, то підмножина також називається лінійно зв'язаною у .

Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-який лінійно зв'язний простір зв'язний.
  • Зворотне невірно; наприклад замикання графіка функції зв'язне, але лінійних не складно (ця множина містить відрізок на осі ординат).
  • Неперервний образ лінійно зв'язного простору лінійно зв'язна.
  • Якщо простір X лінійно зв'язний і , то гомотопічні групи і ізоморфні, причому цей ізоморфізм визначається однозначно з точністю до внутрішнього автоморфізму .

Лінійна зв'язність на числовій прямій[ред.ред. код]

Будемо вважати, що , а  — стандартна топологія числової прямої. Тоді

  • Підмножина лінійно зв'язна тоді і тільки тоді, коли
тобто будь-які дві точки входять до нього разом із з'єднучим їх відрізком.
  • Будь-яка лінійно зв'язна підмножина числової прямої є кінцевим або нескінченним, відкритим, напіввідкритим або замкнутим інтервалом:
  • Підмножина числової прямої лінійно зв'язна тоді і тільки тоді, коли вона зв'язна.

Узагальнення[ред.ред. код]

Багатовимірним узагальненням лінійної зв'язності є k-зв'язність (зв'язність у розмірності ). Простір називається зв'язаним у розмірності , якщо будь-яке відображення r-мірної сфери в , де , гомотопно постійному відображенню.

Зокрема, лінійно зв'язний простір це 0-зв'язне простір, тобто будь-яке відображення двокрапки (тобто нульмерной сфери) гомотопно постійному відображенню.