Максимальний ідеал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.

Властивості[ред.ред. код]

Дійсно, якщо кільце R/I\, має власний ідеал M\,, то I+M буде власним ідеалом кільця R\,, що суперечить максимальності ідеалу I\,.

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

  • Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу \ I кільця \ R існує максимальний ідеал кільця \ R, який його містить.
  • Якщо елемент a\, кільця R\, не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент a\, оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.
  • Якщо всі необоротні елементи кільця R\, утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці R\, немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці R\, існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце R\, називається локальним.
  • Для комутативного кільця ідеал I\, є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.
  • Якщо кільце \ R має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел \C, фактор-кільце по максимальному ідеалу \ R/I ізоморфне \C. В цьому випадку ідеал \ I визначає гомоморфізм кільця \ R в полі \C, ядром якого є ідеал \ I.
    Для кожного a існує єдина \lambda_a, таке що a-\lambda_a e\in I (e - одиниця алгебри R). Відповідність a\to \lambda_a і є той самий гомоморфізм.
  • З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.
Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел 2\Z ідеал 4\Z є максимальним, проте 2 \cdot 2 = 4, хоч 2 \notin 4\Z.

Приклади[ред.ред. код]

  • У кільці цілих чисел \Z максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
  • У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебраїчно замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд I_{a,b} = \{f\in k[X,Y]: f(a,b) = 0 \},\quad a,b\in k.
  • Кільце формальних степеневих рядів k[[X]] над полем kлокальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
  • У кільці R = C[a, b] неперервних функцій на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці x \in [a, b]. є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.

Кільця без максимальних ідеалів[ред.ред. код]

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: :\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{\alpha_n} де a_n \in \mathbb{R} і 0 < \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots дійсні числа для яких \lim_{x\to\infty}\alpha_n = \infty.

Для ненульового такого ряду можна вважати a_n \neq 0. Для f=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{\alpha_n} \in R де 0 < \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots і a_1 \neq 0 визначимо \deg f = \alpha_1. Очевидно \deg (f \cdot g)=\deg f + \deg g і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай S=\mathbb{R} + R і g \in R \setminus I. Визначимо J=Sg. Тоді J є ідеалом R. Оскільки \forall h \in J: \ \deg h \geq \deg g, то J \neq R.

Отже J є власним ідеалом в R. Також I \neq J оскільки g \in J \setminus I. Нехай f \in I. Якщо f = 0, тоді очевидно f \in J. Розглянемо тепер f \neq 0. Припустимо \deg g > \deg f. Тоді \frac{g}{f} \in R і звідси g \in Rf \subseteq I, що суперечить визначенню g. Тому \deg g \leq \deg f і звідси \frac{f}{g} \in S. Отже f \in Sg = J. Відповідно I \subset J \subset R, що суперечить максимальності ідеалу I. \ \Box

Література[ред.ред. код]