Максимальний ідеал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Максимальним ідеалом кільця в абстрактній алгебрі називається всякий власний ідеал кільця, що не міститься в жодному іншому власному ідеалі.

Властивості[ред.ред. код]

  • Характеристична властивість максимального ідеалу: ідеал кільця максимальний, тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце є простим кільцем.
Дійсно, якщо кільце має власний ідеал , то буде власним ідеалом кільця , що суперечить максимальності ідеалу .

Далі всі кільця вважаються кільцями з одиницею

  • Теорема Круля: Множина всіх ідеалів кільця індуктивно впорядкована відношенням включення, тому згідно з (лемою Цорна) у довільному кільці з одиницею існують максимальні ідеали, окрім того, для будь-якого власного ідеалу кільця існує максимальний ідеал кільця , який його містить.
  • Якщо елемент кільця не оборотний, тоді всі елементи кільця, кратні йому, утворюють власний ідеал. Тому кожен необоротний елемент кільця міститься в деякому максимальному ідеалі. Якщо елемент оборотний, всякий ідеал, який його містить, збігається з кільцем, тому оборотні елементи не містяться в жодному власному ідеалі, і відповідно в жодному максимальному.
  • Якщо всі необоротні елементи кільця утворюють ідеал, він є максимальним, і притому єдиним — інших максимальних ідеалів в кільці немає. (Вірним є і обернене твердження: якщо в кільці існує єдиний максимальний ідеал , він включає всі необоротні елементи кільця.) В цьому випадку кільце називається локальним.
  • Для комутативного кільця ідеал є максимальним тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце по цьому ідеалу є полем.
  • Якщо кільце має структуру банахової алгебри над полем комплексних чисел , фактор-кільце по максимальному ідеалу ізоморфне . В цьому випадку ідеал визначає гомоморфізм кільця в полі , ядром якого є ідеал .
    Для кожного a існує єдина , таке що (e - одиниця алгебри R). Відповідність і є той самий гомоморфізм.
  • З характеристичної властивості випливає, що довільний максимальний ідеал є простим.
Для кілець без одиниці максимальні ідеали можуть не бути простими. Наприклад в кільці парних цілих чисел ідеал є максимальним, проте хоч

Приклади[ред.ред. код]

  • У кільці цілих чисел максимальними ідеалами є всі прості ідеали: якщо p - просте число, тоді ідеал (p)=pZ максимальний. Наприклад, парні числа утворюють максимальний ідеал, а числа, кратні 4 - утворюють, але не максимальний - цей ідеал міститься в ідеалі парних чисел.
  • У кільці многочленів k[X,Y], де k - алгебраїчно замкнуте поле, максимальні ідеали мають вигляд .
  • Кільце формальних степеневих рядів над полем kлокальне кільце. Необоротними елементами в цьому кільці є ті ряди вільний член яких рівний нулю. Вони утворюють ідеал,що є єдиний максимальним ідеалом у цьому кільці.
  • У кільці R = C[a, b] неперервних функцій на відрізку множина функцій, що приймають значення 0 в деякій точці є максимальним ідеалом. Усі максимальні ідеали кільця R мають такий вигляд.

Кільця без максимальних ідеалів[ред.ред. код]

Теорема Круля гарантує існування максимального ідеалу для кілець з одиницею. Проте в кільцях без одиниці максимальні ідеали можуть не існувати. Прикладом такого кільця може бути кільце рядів: : де і дійсні числа для яких .

Для ненульового такого ряду можна вважати Для де і визначимо . Очевидно і R є областю цілісності без одиниці.

Припустимо I максимальний ідеал кільця R. Нехай і . Визначимо . Тоді J є ідеалом R. Оскільки то .

Отже J є власним ідеалом в R. Також оскільки . Нехай . Якщо f = 0, тоді очевидно . Розглянемо тепер . Припустимо . Тоді і звідси , що суперечить визначенню g. Тому і звідси . Отже . Відповідно , що суперечить максимальності ідеалу .

Література[ред.ред. код]