Малокутове наближення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Приблизно однаковий вигляд деяких тригонометричних функцій при x → 0

Малокутове наближення або апроксимація малих кутів це корисне спрощення базових тригонометричних функцій, яке буде досить точним при ліміті коли кут. Вони є усіченим рядом Тейлора для базових тригонометричних функцій за допомогою властивостей наближення другого порядку. [1] Таке спрощення дає наступну формулу:

,

де θ це кут в радіанах.

Апроксимація малих кутів корисна в багатьох застосуваннях фізики, включаючи механіку, електромагнетизм, оптику (де воно є основою паралаксіальної оптики), картографії, астрономії, та ін.

Обґрунтування[ред. | ред. код]

Графічне[ред. | ред. код]

Точність наближення наглядно видно нижче на графіках 1 і 2. З тим як кут наближається до нуля, очевидно, що різниця між апроксимованою прямою і справжньою функцією значно зменшується.

Геометричне[ред. | ред. код]

Small angle triangle.svg

В червоній частині справа, d, є різницею між довжиною гіпотенузи, H, і прилеглої сторони, A. Як видно, H і A мають приблизно однакову довжину, що означає що cos θ близький до 1 і дозволяє відкинути червону різницю.

Протилежна вертикальна сторона, O, приблизно дорівнює довжині синьої дуги, s. Узагальнюючи факти з геометрії, s = A*θ, із тригонометрії, sin θ = O/H і tan θ = O/A, а із зображення беремо що, і , що приводить до:

.

Спростивши, отримаємо,

.

Алгебраїчне[ред. | ред. код]

Апроксимація функції синуса для малих кутів.

Розширенням Маклорена (розкладання в ряд Тейлора при наближенні до 0) відповідної тригонометричної функції є [2]

де θ це кут в радіанах. У більш простому вигляді,

Легко побачити що другий самий значимий (viz., третього порядку) терм зменшується в кубічній пропорції відносно першого терму; тому, навіть для такого не дуже малого значення як 0.01, значення другого значимого терму буде мати порядок 0.000001, або одну десятитисячну від першого терма. Таким чином, можна сміливо апроксимувати:

В подальшому, оскільки значення косинуса малого кута дуже близький одиниці, а тангенс задається як відношення синуса до косинуса, маємо

.

Похибка апроксимації[ред. | ред. код]

Малюнок 3. Графік абсолютних похибок при малокутовому наближенні.

Малюнок 3 показує похибку апроксимації малих кутів. Кути, при яких відносна похибка перевищує 1% є наступними:

  • tan θ ≈ θ при приблизно 0.176 радіанах(10°).
  • sin θ ≈ θ при приблизно 0.244 радіан (14°).
  • cos θ ≈ 1 - θ2/2 при приблизно 0.664 радіан (38°).

Приклади застосування[ред. | ред. код]

Астрономія[ред. | ред. код]

В астрономії, зображення, яке займає образ віддаленого об'єкта зазвичай має розмір лише в декілька арксекунд, тому в даному випадку досить добре застосовується малокутове наближення. Зв'язок лінійного розміру (D) із кутовим розміром (X) і дистанцією від спостерігача (d) задається простою формулою

D = X · d / 206,265

де X вимірюється в арксекундах.

Число 206,265 приблизно дорівнює кількості арксекунд в одному колі (1,296,000), розділене на 2π.

Точна формула має наступний вигляд:

D = d tan(X·2π/1,296,000)

а вищезгадане спрощення випливає із заміни tan(X) на X.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. p. 26: Wiley. с. 839. ISBN 978-0-471-19826-0. 
  2. Boas, Mary L. (2006). Mathematical Methods in the Physical Sciences. p. 26: Wiley. с. 839. ISBN 978-0-471-19826-0.