Математична константа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Універсальна параболічна стала[en] це співвідношення довжини дуги сегменту параболи (червоним), що обмежена хордою, яка проходить через точку фокусу паралельно директрисі, (синім) до фокального параметру (зеленим).

Математична константа — величина, значення якої не змінюється; в цьому вона протилежна змінній. Зазвичай — це дійсне або комплексне число, яка виводиться в самій математиці, тому на відміну від фізичних констант, математичні константи визначені незалежно від якихось фізичних вимірювань.

Деякі вибрані константи[ред. | ред. код]

Використані скорочення: Р — раціональне число, І — ірраціональне число, А — алгебраїчне число, Т — трансцендентне число, ? — невідомо; мат — звичайна математика, ТЧ — теорія чисел, ТХ — теорія хаосу, комб — комбінаторика.

Символ Наближене значення Назва Галузь Значення Вперше описана Число відомих знаків
0 нуль мат Р 7 ст. до Р.Х.- 5 ст. до Р.Х.
1 одиниця, Unity мат Р
уявна одиниця мат, мат. аналіз А 16 століття
≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 пі, константа Архімеда мат Т 2000 рік до Р.Х. 1 241 100 000 000
≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49 константа Непера, число Ейлера, основа натурального логарифма мат Т 12 884 901 000
≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 07 константа Піфагора, квадратний корінь з 2 мат І 137 438 953 444
≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 константа Теодоруса, квадратний корінь з 3 мат І
≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43 стала Ейлера — Маскероні мат, ТЧ ? 108 000 000
≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 11 золотий перетин мат І 3 141 000 000
0,702 58 константа Ембрі — Трефетена ТЧ
≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61 константи Фейгенбаума ТХ 1975
≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78 константи Фейгенбаума ТХ
≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77 константа простих близнюків ТЧ 5 020
≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85 константа Майсселя — Мертенса ТЧ 1866; 1874 8010
≈ 1,902 160 582 3 константа Бруна для простих близнюків ТЧ 1919 10

Позначення Значення
π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249

Загальні математичні константи[ред. | ред. код]

Константа Архімеда π[ред. | ред. код]

Докладніше: Число Пі
Окружність кола із діаметром 1 дорівнює π.

Стала π (пі) має натуральне визначення в Евклідовій геометрії (співвідношення між окружністю і діаметром кола), але її можна зустріти в багатьох математичних поняттях: наприклад, Гаусівський інтеграл у комплексному аналізі, у Корінь з одиниці в теорії чисел, і Розподіл Коші імовірностей. Однак, її поширення не обмежується лише класичною математикою. Вона використовується в багатьох фізичних формулах, і деякі фізичні константи визначені через π. Однак, об'єктом дискусій щодо того, наскільки її використання є фундаментальним в таких випадках. Наприклад, нерелятивістська хвильова функція основного стану атома водню є такою:

де це радіус Бора. Формула містить число π, але залишається не ясним, наскільки це коректно у фізичному плані, або це лише відображає π в виразі для розрахунку площі поверхні сфери із радіусом . Крім того, ця формула дає лише приблизне описання фізичної реальності, оскільки вона не враховує спін, релятивізм, і квантову природу електромагнітного поля. Аналогічно, поява числа π у формулі, що описує закон Кулона в одиницях вимірювання СІ, залежить від вибору системи одиниць, і історично це пов'язано з тим як була введена в практику так звана діелектрична проникність вільного простору, яку запропонував Джованні Джорджі[en] в 1901. Константа π, як в наведеному рівнянні, часто мають чисто з математичну природу і сенс, а не фізичну.

Числове значення π приблизно дорівнює 3.1415926535 (послідовність A000796 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Запам'ятовування як змога більшої кількості цифр[en] числа π є свого типу змаганням за встановлення світового рекорду.

Число Ейлера e[ред. | ред. код]

Докладніше: e (число)
Експоненційне зростання (зеленим) описує багато фізичних явищ.

Число Ейлера e, що також відоме як стала експоненційного зростання, застосовується у багатьох галузях математики і одним із можливих визначень її значення є наступний вираз:

Наприклад, математик Якоб Бернуллі встановив, що число e виникає в розрахунках складних відсотків: рахунок, який починається із суми в $1, і дає відсоток із річною ставкою R при постійному зростанні, акумулюватиме до eR доларів до кінця одного року. Константа e також має своє застосування у теорії ймовірностей, де вона очевидно не пов'язана із експоненціальним зростанням. Уявімо ігровий автомат із ймовірністю один із n отримати виграш. Нехай з ним зіграли n разів. Тоді, для великих значень n (настільки великих як один мільйон) імовірність того, що нічого не буде виграно дорівнюватиме приблизно 1/e і прямує до цього значення з тим як n прямує до нескінченності.

Іншим застосуванням числа e, яку вирішив Якоб Бернулі одночасно з французьким математиком П'єром де Монмором, є задача перестановок без нерухомих точок, що також називається безладом.[1] Нехай, наприклад, n це кількість гостей, яких запросили на вечірку, і на вході кожен гість віддає свого капелюха дворецькому, який складає їх у підписані комірки. Дворецький не знає імен гостей, і тому розкладає їх капелюхи навмання. Задачею де Монмора є знайти ймовірність того, що жоден з капелюхів гостей не буде покладений в правильну комірку. Відповіддю до цієї задачі буде

із тим як n прямує до нескінченності, pn наближатиметься до 1/e.

Числове значення сталої e приблизно становить 2.7182818284 (послідовність A001113 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Константа Піфагора 2[ред. | ред. код]

Квадратний корінь з 2 дорівнює довжині гіпотенузи прямокутного трикутника, катети якого мають довжину 1.

Квадратний корінь з двох, відомий як константа Піфагора і записується як 2, є додатнім алгебраїчним числом, при множенні якого на самого себе результатом буде число 2. Більш точно його називати головний корінь числа 2, аби відрізнити його від від'ємного числа, яке має таку ж властивість.

В геометричному сенсі квадратний корінь числа 2 це довжина діагоналі, що розділяє квадрат, сторони якого дорівнюють одиниці. Це випливає із теореми Піфагора. Ймовірно, це перше відоме ірраціональне число. Його числове значення із точністю до 65 десяткових знаків є наступним:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... послідовність A002193 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
Квадратний корінь з 2.

Часто для спрощення розрахунків використовується наближене значення у вигляді дробу 99/70 (≈ 1.41429). Дане число відрізняється від правильного менше ніж на 1/10000 (приблизно 7.2 × 10 −5).

Уявна одиниця i[ред. | ред. код]

Докладніше: Уявна одиниця
i на комплексній або декартовій площині. Дійсні числа знаходяться на горизонтальній осі, а уявні числа задаються вертикальною віссю

Уявна одиниця, позначається як i, є математичним поняттям, що розширює систему дійсних чисел до системи комплексних чисел , що в свою чергу визначає принаймні один корінь будь-якого поліному P(x) (див Основна теорема алгебри). Основною властивістю уявної одиниці є те, що i2 = −1. Термін "уявне" використовується тому, що не існує такого дійсного числа, що б мало від'ємний квадрат.

Насправді існує два комплексні квадратні корені −1, а саме i і i, так само як існує два комплексні квадратні корені будь-якого іншого дійсного числа, крім числа нуль.

Константи з вищої математики[ред. | ред. код]

Наведені в цьому розділі сталі зустрічаються у задачах вищої математики.

Константи Фейгенбаума α і δ[ред. | ред. код]

Діаграма біфуркації логістичного відображення.

Ітерації неперервних відображень є найпростішим прикладом моделювання динамічних систем.[2] Із такого ітеративного процесу виникають дві константи Фейгенбаума, названі на честь математичного фізика Мітчелла Фейгенбаума. Ці констати є математичними інваріантами логістичних відображень із квадратичними точками максимумів[3] і їх діаграм біфуркації[en].

Логістичне відображення це поліноміальне поліноміальне відображення, яку часто описують за допомогою архітипного прикладу того як вз дуже простих рівнянь не лінійної динаміки може виникнути хаотична поведінка. Це відображення було опубліковано у статті 1976 австралійського біолога Роберта Мейя[en],[4] в рамках дослідження демографічної моделі дискретного часу аналогічної до логістичного рівняння, яке вперше створив П'єр Франсуа Ферхюльст. Різницеве рівняння призначене для описання двох ефектів відтворення популяції та голоду.

Числове значення α приблизно становить 2.5029. Числове значення δ приблизно є 4.6692.

Стала Апері ζ(3)[ред. | ред. код]

Докладніше: Стала Апері

Попри те, що вона є частковим значенням Дзета-функції Рімана, стала Апері природним чином зустрічається в багатьох фізичних задачах, зокрема в термах другого і третього порядку гіромагнітного співвідношення для електронів, розрахованого за допомогою квантової електродинаміки.[5] Числовим значенням сталої ζ(3) приблизно є 1,2020569. Визначається вона наступним виразом:

Золотий перетин φ[ред. | ред. код]

Докладніше: Золотий перетин
Золоті прямокутники у ікосаедрі
Приклад формули для n-го числа Фібоначчі із застосуванням золотого перетину φ.

Число φ, що називається золотим перетином, часто зустрічається у геометрії, зокрема при розгляді фігур із п'ятикутною симетрією. Дійсно, довжина діагоналі правильного п'ятикутника дорівнює числу φ помноженому на сторону. Вершини правильного ікосаедра утворюють три взаємно ортогональні золоті прямокутники. Воно також з'являється у послідовності Фібоначчі, і пов'язане зі зростанням за допомогою рекурсії.[6] Кеплер в свою чергу довів, що воно є границею співвідношення послідовних чисел Фібоначі.[7] Золотий перетин має найменшу збіжність із усіх ірраціональних чисел.[8] Саме з цієї причини, золотий перетин є одним із найгірших випадків теореми апроксимації Лагранжа і є екстремальним випадком теореми Гурвіца для Діофантової апроксимації. Це може бути причиною, чому при зростанні рослин часто виникають кути близькі до золотого перетину.[9] Золотий перетин приблизно дорівнює 1.6180339887498948482, або більш точно визначається як 2sin(54°) =

Стала Ейлера—Маскероні γ[ред. | ред. код]

Площа між двома кривими (червоним) збігається до границі.

Стала Ейлера—Маскероні є важливою сталою із теорії чисел. Бельгійський математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен в 1898 довів, що якщо взяти будь-яке додатне число n і поділити його на кожне додатне ціле число m, що є меншим за n, середнє значення дробу, при якому відношення n/m є найближчим до наступного цілого прямує до (а не до 0.5) при n що прямує до нескінченності. Стала Ейлера—Маскероні також зустрічається у третій теоремі Мартенеса і має зв'язок із гамма функцією, Дзета-функцією Рімана і багатьма різними інтегралами і рядами. Визначення сталої Ейлера—Маскероні виявляє тісний зв'язок між дискретністю і неперервністю (див зображення ліворуч).

Числове значення сталої приблизно становить 0.57721.

Математичні цікавинки та невизначені константи[ред. | ред. код]

Прості представлення наборів чисел[ред. | ред. код]

Ця Вавілонська глиняна табличка наводить наближення квадратного кореня із 2 за допомогою чотирьох шістдесяткових чисел: 1; 24, 51, 10, що є точними до шести десяткових чисел.[10]
Число Ліувілля є простим прикладомтрансцендентного числа.

Деякі сталі, такі як квадратний корінь з двох, число Ліувілля[en] і стала Чемперноуна[en] :

не є важливими математичними інваріантами, але все ж таки викликають інтерес, оскільки є простими представниками особливих наборів чисел, вони є ірраціональними числами,[11] трансцендентними числами[12] і нормальними числами (із основою 10)[13] відповідно. Відкриття ірраціональних чисел як правило приписують Піфагорійцю Гіппасу Метапонтському, який геометричним способом довів ірраціональність квадратного кореня із 2. Щодо числа Ліувілля, названого в честь французького математика Жозефа Ліувілля, то це було перше число, щодо якого було доведено, що воно є трансцендентним.[14]

Постійна Чайтіна Ω[ред. | ред. код]

В Алгоритмічній теорії інформації, що є галуззю комп'ютерних наук, постійна Чайтіна[en] це дійсне число, що представляє собою імовірність, що довільно обрана Машина Тюрінга зупиниться. Хоча постійна Чайтіна не є обчислювальною[en], було доведено, що воно є трансцендентним і нормальним числом. Постійна Чайтіна не універсальна, і значно залежить від числового кодування, що було використане для машин Тюрінга; однак, її основні цікаві властивості не залежать від кодування.

Невизначені константи[ред. | ред. код]

У разі якщо константа невизначена, вона може ідентифікувати клас подібних об'єктів, як правило функцій, що є в практичному сенсі рівними з точністю до сталої, і можуть розглядатися 'подібними до сталої'. Такі сталі часто з'являються в задачах пов'язаних з інтегральними і диференціальними рівняннями. Хоча вони мають певне значення, значення таких невизначених констант неважливе.

В інтегралах[ред. | ред. код]

Невизначені інтеграли називаються так, тому що їх розв'язок є визначеним лише до сталої. Наприклад, якщо річ іде про поле дійсних чисел

де C, є сталою інтегрування — довільним дійсним числом.[15] Іншими словами, яким би не було значення C, диференціювання виразу sin x + C по відношенню до x завжди дасть в результаті cos x.

В диференційних рівняннях[ред. | ред. код]

Аналогічним чином, константи з'являються при розв'язуванні диференційних рівнянь в яких не задано достатніх початкових значень або граничних умов. Наприклад, звичайне диференціальне рівняння y' = y(x) має розв'язок Cex де C є довільною сталою.

Маючи справу із диференціальними рівняннями із частинними похідними, сталі можуть бути функціями, що є сталими по відношенню до деяких змінних (але не обов'язково до всіх із них). Наприклад, наступне рівняння із частинними похідними

має множину рішень f(x,y) = C(y), де C(y) є довільною функцією із змінною y.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Grinstead, C.M.; Snell, J.L. Introduction to probability theory. с. 85. Архів оригіналу за 27 липня 2011. Процитовано 9 грудня 2007. 
  2. Collet & Eckmann (1980). Iterated maps on the inerval as dynamical systems. Birkhauser. ISBN 3-7643-3026-0. 
  3. Finch, Steven (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. с. 67. ISBN 0-521-81805-2. 
  4. May, Robert (1976). Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers. ISBN 0-632-00768-0. 
  5. Steven Finch Apéry's constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5. 
  7. Tatersall, James (2005). Elementary number theory in nine chapters (2nd ed. 
  8. "The Secret Life of Continued Fractions". Архів оригіналу за 6 січня 2018. Процитовано 5 березня 2018. 
  9. Fibonacci Numbers and Nature - Part 2 : Why is the Golden section the "best" arrangement? [Архівовано 20 лютого 2018 у Wayback Machine.], from Dr. Ron Knott's [Архівовано 12 березня 2018 у Wayback Machine.] Fibonacci Numbers and the Golden Section [Архівовано 10 лютого 2016 у Wayback Machine.], retrieved 2012-11-29.
  10. Fowler, David; Eleanor Robson (November 1998). Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context. Historia Mathematica 25 (4): 368. doi:10.1006/hmat.1998.2209. Архів оригіналу за 28 листопада 2007. Процитовано 9 грудня 2007. 
    Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection [Архівовано 13 серпня 2012 у Wayback Machine.]
    High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection [Архівовано 12 липня 2020 у Wayback Machine.]
  11. Bogomolny, Alexander. Square root of 2 is irrational. Архів оригіналу за 22 квітня 2016. Процитовано 5 березня 2018. 
  12. Aubrey J. Kempner (Oct 1916). On Transcendental Numbers. Transactions of the American Mathematical Society (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 17, No. 4) 17 (4): 476–482. JSTOR 1988833. doi:10.2307/1988833. 
  13. Champernowne, David (1933). The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten. Journal of the London Mathematical Society 8 (4): 254–260. doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254. 
  14. Weisstein, Eric W. Liouville's Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  15. Edwards, Henry; David Penney (1994). Calculus with analytic geometry (вид. 4e). Prentice Hall. с. 269. ISBN 0-13-300575-5. 

Див. також[ред. | ред. код]