Математична індукція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Dominoeffect.png

Математи́чна інду́кція — застосування принципу індукції для доведення теорем в математиці. Зазвичай полягає в доведенні правильності твердження стосовно одного з натуральних чисел, а потім всіх наступних.

Принцип індукції полягає в тому, що нескінченна послідовність тверджень , , правильна якщо:

  1.  — правильне, та
  2. із правильності випливає правильність (істинність) для всіх k.

Індуктивне доведення наочно може бути представлене у вигляді т.зв. принципу доміно. Нехай довільне число кісточок доміно виставлено в ряд таким чином, що кожна кісточка, падаючи, обов'язково перекине наступну за нею кісточку (це індукційний перехід). Тоді, якщо ми штовхнемо першу кісточку (це база індукції), то всі кісточки в ряду впадуть.

На практиці використовується, щоб довести істинність певного твердження для всіх натуральних чисел. Для цього спочатку перевіряється істинність твердження за номером 1 - база (базис) індукції, а потім доводиться, що, якщо правдиве твердження з номером n, то правдиве й наступне твердження за номером n + 1 - крок індукції, або індукційний перехід.

Формулювання[ред.ред. код]

Припустимо, що потрібно встановити справедливість безкінечною послідовності тверджень, занумерованих натуральними числами: .

Припустимо, що

  1. Встановлено, що правильне. (Це твердження називається базою індукції.)
  2. Для будь-якого n доведено, що якщо вірно , то вірно . (Це твердження називається індукційним переходом.)

Тоді всі твердження нашої послідовності вірні.

Логічною підставою для цього методу докази слугує так звана аксіома індукції, п'ята з аксіом Пеано, що визначають натуральні числа. Правильність методу індукції еквівалентна тому, що в будь-якій непорожній підмножині натуральних чисел існує мінімальний елемент.

Принцип повної математичної індукції[ред.ред. код]

Існує також варіація, так званий принцип повної математичної індукції. Ось його суворе формулювання:

Нехай є послідовність тверджень , , , . Якщо для будь-якого натурального з того, що істинні всі, , , , , слід також істинність , то всі твердження в цій послідовності істинні, тобто .

У цій варіації база індукції виявляється зайвою, оскільки є тривіальним окремим випадком індукційного переходу. Дійсно, при імплікація еквівалентна . Принцип повної математичної індукції є прямим застосуванням більш сильною трансфінітної індукції.

Принцип повної математичної індукції також еквівалентний аксіомі індукції в аксіомах Пеано.

Історія[ред.ред. код]

Усвідомлення методу математичної індукції окремим методом походить від Блеза Паскаля і Герсоніда, хоча окремі випадки використання цього методу відомі ще в Платона (Діалог Парменід — можливо, міститься на початку приклад неявного індуктивного доведення), Прокла і Евкліда. Сучасну назву методу запровадив британський математико Ауґустус де Морган у 1838 році.

Приклади[ред.ред. код]

Задача. Довести, що, якими б не були натуральне n і дійсне q ≠ 1, справджується рівність

Доведення. Індукція по n.

База, n = 1:

Перехід: припустимо, що

тоді

,

що й потрібно було довести.

Коментар: істинність тверджения в цьому доведенні — то саме, що й істинність рівності

Варіації та узагальнення[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Weisstein, Eric W. (1999). CRC concise encyclopedia of mathematics. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-9640-9. 

Література[ред.ред. код]

Відеоматеріали[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.