Матриця Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У лінійній алгебрі, матрицею Гільберта (була введена Давидом Гільбертом у 1894) називається квадратна матриця H з елементами:

Наприклад, матриця Гільберта 5 × 5 має вигляд:

На матрицю Гільберта можна подивитися як на матрицю, отриману з інтегралів:

тобто, як на матрицю Грама для степенів x. Вона виникає при апроксимації функцій поліномами методом найменших квадратів.

Матриця Гільберта є стандартним прикладом погано обумовлених матриць, що робить їх незручними для обчислення з допомогою обчислювально нестійких[ru] методів. Наприклад, число обумовленості відносно  — норми для матриці, що наведена вище, дорівнює 4.8 · 105.

Історія[ред. | ред. код]

Гільберт (1894) ввів матрицю Гільберта при вивченні наступного питання: «Нехай I = [a, b] — дійсний інтервал. Чи можливо тоді знайти ненульовий поліном P з цілочисельними коефіціентами такий, що інтеграл

був би не менше будь-якого заданого числа ε > 0?» Для відповіді на дане питання Гільберт вивів точну формулу для визначника матриці Гільберта та дослідив її асимптотику. Він зробив висновок, що відповідь позитивна, якщо довжина ba інтервалу менше ніж 4.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Визначник матриці Гільберта може бути виражений в явному вигляді, як окремий випадок визначника Коши. Визначник матриці Гільберта n × n дорівнює

де

Вже Гільберт помітив цікавий факт, що визначник матриці Гільберта — це зворотнє ціле число (див. послідовність Послідовність A005249 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Цей факт випливає з рівності

Користуючись формулою Стірлінга можна встановити наступний асимптотичний результат:

де an сходиться до константи при , де A — постійна Глейшера-Кінкелина[ru].

де n — порядок матриці. Таким чином, елементи зворотньої матриці  — цілі числа.

Вклад Давида Гільберта в науку[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

  • Hilbert, David (1894). Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms. Acta Mathematica[ru] (Springer Netherlands) 18: 155–159. ISSN 0001-5962. JFM 25.0817.02. doi:10.1007/BF02418278. . Передруковано в Hilbert, David. article 21. Collected papers II. 
  • Beckermann, Bernhard (2000). The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices. Numerische Mathematik 85 (4): 553–577. doi:10.1007/PL00005392. 
  • Choi, M.-D. (1983). Tricks or Treats with the Hilbert Matrix. American Mathematical Monthly 90 (5): 301–312. JSTOR 2975779. doi:10.2307/2975779. 
  • Todd, John (1954). The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 39: 109–116. 
  • Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-04809-X.