Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.
В новій системі координат вектор
переходить у вектор
Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

Цей зв'язок визначається матрицею повороту
- Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то

- отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:
(обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
- Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то
(детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
- Добутком матриць повороту є матриця повороту:


Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).
- Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:

Матриця повороту на площині[ред. | ред. код]
Поворот в площині на кут

переводить точку

в точку

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

де
— кут повороту проти годинникової стрілки.
Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць,
.
Тож нові координати (x',y') точки (x,y) після обертання будуть наступні:
,
.
Матриця повороту в тривимірному просторі[ред. | ред. код]
- Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:

- Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як

- Матриця повороту відносно одиничного вектора
на кут
:
![{\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\varphi )=\mathbf {uu} ^{T}+(I-\mathbf {uu} ^{T})\cos \varphi +{\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }\sin \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff756d184b3dc0d55c21984621705b62f914b1c7)
де
— матриця векторного добутку,
— тензорний добуток векторів (результатом є матриця).
Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:
- перший — проектор на лінію вектора u,
- інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.
Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.
Матриця повороту в просторі Мінковського[ред. | ред. код]
У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.