Матриця повороту

Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.

В новій системі координат вектор $\ x \,$ переходить у вектор $x^{\prime} .$ Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

$\ x^\prime = R \cdot x.$

Цей зв'язок визначається матрицею повороту $\ R.$

Властивості

• Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то $(x^\prime)^T \cdot x^\prime = x^T R^T \cdot R x = x^T \cdot x,$

отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:

$\ R^{-1} = R^T$ (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).

• Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то

$\ \det R = +1$ (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).

• Добутком матриць повороту є матриця повороту:

$(R_1 R_2)^T (R_1 R_2) = R_2^T (R_1^T R_1) R_2 = I,$

$\ \det (R_1 R_2) = (\det R_1) (\det R_2) = +1.$

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).

• Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:

$R ( \vec{a} \times \vec{b}) = R\vec{a} \times R\vec{b}.$

Матриця повороту на площині

Поворот в площині на кут $\varphi$ переводить точку $(x,y)$ в точку $(x',y')$

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

$R(\varphi) = \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix},$

де $\varphi$ — кут повороту проти годинникової стрілки.

Матриця повороту в тривимірному просторі

• Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:

$R_x(\varphi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varphi & -\sin\varphi \\ 0 & \sin\varphi & \cos\varphi \\ \end{bmatrix}, \qquad R_y(\varphi) = \begin{bmatrix} \cos\varphi & 0 & \sin\varphi \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\varphi & 0 & \cos\varphi \\ \end{bmatrix}, \qquad R_z(\varphi) = \begin{bmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}.$

• Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як

$\ R = R_z(\varphi)\cdot R_x(\theta) \cdot R_z(\psi).$

• Матриця повороту відносно одиничного вектора $\bold{u}= (x,y,z)$ на кут $\varphi$:

$R_\bold{u}(\varphi) = \bold{uu}^T + (I - \bold{uu}^T)\cos\varphi + \big[\bold{u}\big]_{\times}\sin\varphi,$

де

$\big[\bold{u}\big]_{\times}$ — матриця векторного добутку,

$\bold{u \otimes u} = \bold{uu}^T$ — тензорний добуток векторів (результатом є матриця).

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:

перший — проектор на лінію вектора u,

інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.

Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.

Матриця повороту в просторі Мінковського

У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.

Дивись також

• Кватерніони і повороти простору
• Унітарна матриця

Посилання

• Weisstein, Eric W. Матриця поворота(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.