Матриця повороту

Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.

В новій системі координат вектор $\ x\,$$\ x\,$ переходить у вектор $x^{\prime }.$$x^{\prime }.$ Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

$\ x^{\prime }=R\cdot x.$$\ x^{\prime }=R\cdot x.$

Цей зв'язок визначається матрицею повороту $\ R.$$\ R.$

Властивості

• Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то $(x^{\prime })^{T}\cdot x^{\prime }=x^{T}R^{T}\cdot Rx=x^{T}\cdot x,$$(x^{\prime })^{T}\cdot x^{\prime }=x^{T}R^{T}\cdot Rx=x^{T}\cdot x,$

отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:

$\ R^{-1}=R^{T}$$\ R^{-1}=R^{T}$ (обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).

• Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то

$\ \det R=+1$$\ \det R=+1$ (детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).

• Добутком матриць повороту є матриця повороту:

$(R_{1}R_{2})^{T}(R_{1}R_{2})=R_{2}^{T}(R_{1}^{T}R_{1})R_{2}=I,$$(R_{1}R_{2})^{T}(R_{1}R_{2})=R_{2}^{T}(R_{1}^{T}R_{1})R_{2}=I,$

$\ \det(R_{1}R_{2})=(\det R_{1})(\det R_{2})=+1.$$\ \det(R_{1}R_{2})=(\det R_{1})(\det R_{2})=+1.$

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).

• Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:

$R({\vec {a}}\times {\vec {b}})=R{\vec {a}}\times R{\vec {b}}.$$R({\vec {a}}\times {\vec {b}})=R{\vec {a}}\times R{\vec {b}}.$

Матриця повороту на площині

Поворот в площині на кут $\varphi$$\varphi$ переводить точку $(x,y)$$(x,y)$ в точку $(x',y')$$(x',y')$

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

$R(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}},$$R(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}},$

де $\varphi$$\varphi$ — кут повороту проти годинникової стрілки.

Матриця повороту в тривимірному просторі

• Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:

$R_{x}(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{y}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &0&\sin \varphi \\0&1&0\\-\sin \varphi &0&\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}.$$R_{x}(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{y}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &0&\sin \varphi \\0&1&0\\-\sin \varphi &0&\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}.$

• Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як

$\ R=R_{z}(\varphi )\cdot R_{x}(\theta )\cdot R_{z}(\psi ).$$\ R=R_{z}(\varphi )\cdot R_{x}(\theta )\cdot R_{z}(\psi ).$

• Матриця повороту відносно одиничного вектора ${\mathbf {u}}=(x,y,z)$${\mathbf {u}}=(x,y,z)$ на кут $\varphi$$\varphi$:

$R_{\mathbf {u}}(\varphi )={\mathbf {uu}}^{T}+(I-{\mathbf {uu}}^{T})\cos \varphi +{\big [}{\mathbf {u}}{\big ]}_{\times }\sin \varphi ,$$R_{\mathbf {u}}(\varphi )={\mathbf {uu}}^{T}+(I-{\mathbf {uu}}^{T})\cos \varphi +{\big [}{\mathbf {u}}{\big ]}_{\times }\sin \varphi ,$

де

${\big [}{\mathbf {u}}{\big ]}_{\times }$${\big [}{\mathbf {u}}{\big ]}_{\times }$ — матриця векторного добутку,

${\mathbf {u\otimes u}}={\mathbf {uu}}^{T}$${\mathbf {u\otimes u}}={\mathbf {uu}}^{T}$ — тензорний добуток векторів (результатом є матриця).

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:

перший — проектор на лінію вектора u,

інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.

Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.

Матриця повороту в просторі Мінковського

У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.

Дивись також

• Кватерніони і повороти простору
• Унітарна матриця

Посилання

• Weisstein, Eric W. Матриця поворота(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)