Матриця повороту

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриця поворотуматриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.

В новій системі координат вектор переходить у вектор Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок

Цей зв'язок визначається матрицею повороту

Властивості[ред.ред. код]

  • Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то
отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:
(обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
  • Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то
(детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
  • Добутком матриць повороту є матриця повороту:

Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).

  • Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:

Матриця повороту на площині[ред.ред. код]

Поворот в площині на кут переводить точку в точку

У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд

де  — кут повороту проти годинникової стрілки.

Матриця повороту в тривимірному просторі[ред.ред. код]

  • Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:
  • Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як
  • Матриця повороту відносно одиничного вектора на кут :

де

матриця векторного добутку,
тензорний добуток векторів (результатом є матриця).

Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:

перший — проектор на лінію вектора u,
інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.

Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.

Матриця повороту в просторі Мінковського[ред.ред. код]

У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.

Дивись також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]