Матриці Адамара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ма́триці Адама́ра — в математиці, це ортогональні квадратні матриці, елементи яких можуть приймати значення тільки (+1) та (-1). Названі на честь французького математика Жака Адамара.

Такі матриці застосовуваться в алгоритмах корегування помилок (коди Адамара, коди Ріда-Мюллера).

Недоведена гіпотеза Адамара стверджує, що матриця Адамара порядку 4k існує для кожного натурального числа k.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Матриця Адамара H порядку n задовільняє рівнянню:

де I — одинична матриця розміру n.

  • Отже
.
  • Розмір матриць Адамара може бути 1, 2 чи бути кратним 4.
  • Будь-які 2 довільні стовпці чи рядки мають рівно половину пар елементів, що збігаються.

Процедура побудови Сильвестра[ред. | ред. код]

Одним з способів побудови матриць Адамара великих розмірностей є рекурсивна процедура Сильвестра. Якщо H — матриця Адамара розміру n. Тоді

є матрицею Адамара порядку 2n.

де , а означає добуток Кронекера.

Зокрема,

.

Такі матриці мають додаткові властивості:

  • матриці є симетричними;
  • слід матриці дорівнює нулю;
  • всі елементи першого рядка і першого стовпця додатні, тобто дорівнюють (+1).
  • всі інші рядки і стовпці мають порівну від'ємних і додатних елементів.

Такі матриці, а також матриці з переставленими рядками/стовпцями таким чином, щоб:

  1. матриця залишалась симетричною
  2. кількість змін знаків стовпцях наростала зліва направо

ще називаються матрицями Уолша.

Джерела[ред. | ред. код]