Матрична тотожність Вудбурі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матрична тотожнісь Вудбурі

де матриці A розміру n×n, U розміру n×k, C розміру k×k і V розміру k×n.

Використовується для обернення блочної матриці.

Доведення через систему матричних рівнянь[ред.ред. код]

Розв'язуючи систему матричних рівнянь

Отримаємо систему з двох рівнянь та , вилучимо Y з першого рівняння: .

Перетворимо перше рівняння так , і підставим його в друге рівняння .

Отримаємо , чи .

Підставимо Y в , і отримаємо . Отримаємо

Доведення через LDU розклад матриці[ред.ред. код]

В матриці

для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,

а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.

Отримаємо LDU розклад блочної матриці

Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо


Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)

Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо


Порівняємо елементи (1,1) матриць (1) та (2) і отримаємо тотожність Вудбурі:

Часткові випадки[ред.ред. код]

Якщо n = k та U = V = In, тоді

Якщо k = 1 та C = Ik, тоді U буде вектором-стовпцем u, та V буде вектором-рядком vT. Тоді

— має назву формули Шермана — Морісона.

Якщо A = In та C = Ik, тоді

зокрема, справедливо