Методи інтегрування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Точне знаходження первісної чи інтеграла для довільних функцій — справа значно складніша, ніж диференціювання, тобто пошук похідної. У загальному випадку подати інтеграл довільної функції в елементарних функціях часто просто неможливо. Тому існує набір методів для пошуку інтеграла окремих груп функцій.

Безпосереднє інтегрування[ред. | ред. код]

Використовується таблиця інтегралів.

Метод підстановки (заміни змінної)[ред. | ред. код]

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність:

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х — φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл

Розв'язування. Зробимо підстановку , тоді

Отже, одержимо

Із рівності одержимо



Отже,

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце рівність:

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай тоді .

Метод інтегрування частинами[ред. | ред. код]

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, і хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто .

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

Отже, одержали формулу

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє звести пошук інтеграла до пошуку інтеграла . Якщо вдало обрати u та dv, інтеграл може бути табличним або простішим, ніж початковий інтеграл

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай

За формулою інтегрування частинами одержимо

Інтегрування раціональних дробів[ред. | ред. код]

Невизначений інтеграл будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не обертається в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме: він є алгебраїчною сумою суперпозиції раціональних дробів, арктангенсів і раціональних логарифмів.

Сам метод полягає в розкладанні раціонального дробу на суму найпростіших.

Усякий правильний раціональний дріб , знаменник якого розкладено на множники

можна подати (лише єдиним способом) у виді наступної суми найпростіших дробів:

де  — деякі дійсні коефіцієнти. Зазвичай невідомі коефіцієнти шукають за допомогою методу невизначених коефіцієнтів.

Див. також[ред. | ред. код]