Знаходження первісної чи інтеграла для довільних функцій — справа значно складніша, ніж диференціювання, тобто пошук похідної. Представити інтеграл довільної функції в елементарних функціях не завжди неможливо. Тому існує набір методів для пошуку інтеграла окремих груп функцій.
a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність:
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х — φ (t) мала обернену t = ψ(х).
Приклад. Знайти інтеграл
Розв'язування. Зробимо підстановку , тоді
Отже, одержимо
Із рівності одержимо
Отже,
b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце рівність:
Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).
Ця формула дозволяє звести пошук інтеграла до пошуку інтеграла . Якщо вдало обрати u та dv, інтеграл може бути табличним або простішим, ніж початковий інтеграл
Невизначений інтеграл будь-якого раціонального дробу на будь-якому проміжку, де знаменник дробу не обертається в нуль, існує і подається через елементарні функції, а саме: він є алгебраїчною сумою суперпозиції раціональних дробів, арктангенсів і раціональних логарифмів.
Методи інтегрування // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 371. — 594 с.
Метод заміни змінної (метод підстановки) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 382. — 594 с.