Метод Куммера

Ме́тод Ку́ммера (у теорії числових рядів) — спосіб, який дозволяє змінити заданий ряд іншим, який збігається швидше. Запропонований Ернстом Куммером.

Визначення

Нехай необхідно знайти суму числового ряду $a_{k}$ із заданою точністю. Для збільшення швидкості збіжності цього ряду застосовується метод Куммера: підбирається ряд $b_{k}$ з такою відомою сумою, щоб різниця

$c_{k}=a_{k}-b_{k}=o\,(a_{k}),\;k\to \infty$

У цьому випадку величину $S=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ можна представити у вигляді суми $S=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$, де ряд $c_{k}$ збігається швидче, ніж початковий ряд, а сума ряду $b_{k}$ - відома. Це значить, що для отримання суми ряду із заданою точністю у другому випадку потрібно узяти меншу кількість членів ряду $c_{k}$.

Перетворення Куммера можна застосовувати не до усіх членів початкового ряду, а лише до членів ряду, починаючи з деякого місця. У цьому випадку декілька членів початкового ряду залишаються без зміни.

Приклади

• Послідовність сум $S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{k}}}\quad \quad (k=2,3,...),$ які є значеннями дзета-функції Римана, $\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}$. Значення для парних $z$: $S_{2}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad S_{4}={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad S_{6}={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad S_{8}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}.$

Джерела

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, п. 415.