Метод Рунге — Кутти

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні Диференціально-алгебраїчні Інтегро-диференціальні Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера Модель Курамото
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк

Методи Рунге — Кутти — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.

Класичний метод Рунге — Кутти 4-го порядку

Метод Рунге — Кутти 4-го порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге — Кутти або RK4.

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як

${\textbf {y}}'={\textbf {f}}(x,{\textbf {y}}),~~~~~{\textbf {y}}(x_{0})={\textbf {y}}_{0}$.

Тоді значення невідомої функції в точці $\ x_{n+1}$ обчислюється відносно значення в попередній точці $\ x_{n}$ за формулою:

${\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+{h \over 6}({\textbf {k}}_{1}+2{\textbf {k}}_{2}+2{\textbf {k}}_{3}+{\textbf {k}}_{4})$,

$\ x_{n+1}=x_{n}+h$

де $\ h$ — крок інтегрування, а коефіцієнти ${\textbf {k}}_{n}$ розраховуються таким чином:

${\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}\left(x_{n},{\textbf {y}}_{n}\right),$

${\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{1}\right),$

${\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}\left(x_{n}+{h \over 2},{\textbf {y}}_{n}+{h \over 2}{\textbf {k}}_{2}\right),$

${\textbf {k}}_{4}={\textbf {f}}\left(x_{n}+h,{\textbf {y}}_{n}+h{\textbf {k}}_{3}\right).$

Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить $\ O(h^{5})$, а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною $\ O(h^{4})$.

Прямі методи Рунге — Кутти

Група прямих методів Рунге — Кутти є узагальненням методу Рунге — Кутти 4-го порядку. Наближення задається формулами

${\textbf {y}}_{n+1}={\textbf {y}}_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}{\textbf {k}}_{i},$

де

${\textbf {k}}_{1}={\textbf {f}}(x_{n},{\textbf {y}}_{n}),\,$

${\textbf {k}}_{2}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{2}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{21}h{\textbf {k}}_{1}),\,$

${\textbf {k}}_{3}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{3}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{31}h{\textbf {k}}_{1}+a_{32}h{\textbf {k}}_{2}),\,$

$\vdots$

${\textbf {k}}_{s}={\textbf {f}}(x_{n}+c_{s}h,{\textbf {y}}_{n}+a_{s1}h{\textbf {k}}_{1}+a_{s2}h{\textbf {k}}_{2}+\cdots +a_{s,s-1}h{\textbf {k}}_{s-1}).$

Конкретний метод визначається числом $\ s$ і коефіцієнтами $\ b_{i},a_{ij}$ і $\ c_{i}$. Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю

	0
	$c_{2}$	$a_{21}$
	$c_{3}$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
	$c_{s}$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_{1}$	$b_{2}$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_{s}$

Для коефіцієнтів методу Рунге — Кутти мають справджуватись умови $\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}$ для $i={\overline {2,s}}$.

Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок $\ p$, то варто так само забезпечити умову ${\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})-{\textbf {y}}(h+x_{0})=O(h^{p+1}),$ де ${\bar {\textbf {y}}}(h+x_{0})$ — наближення, отримане за методом Рунге — Кутти. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь, розв'язки якої є коефіцієнтами методу.

Прямі методи розв'язку жорстких диференціальних рівнянь та їх систем неефективні внаслідок різкого збільшення кількості кроків обчислень (при зменшенні кроку інтегрування $h$) чи зростання похибки при недостатньо малому кроці $h$.

Нехай похибка має порядок $k$. Наближене значення $y(x),$ обчислене у точці $x$ із величиною кроку $h$, позначається $Y(x,h).$ Тоді у точці $x=x_{0}+2nh$

$y(x)-Y(x,h)\approx A2nh^{k+1}-A(x-x_{0})h^{k},\quad \quad y(x)-Y(x,2h)\approx An(2h)^{k+1}=A(x-x_{0})2^{k}h^{k},$

тобто $Y(x,2h)-Y(x,h)\approx A(x-x_{0})(1-2^{k})h$ та, відповідно,

$y(x)-Y(x,h)\approx {\frac {Y(x,h)-Y(x,2h)}{2^{k}-1}}.$

Помилка при кроці $h$ виражається через наближені значення при кроках $h$ та $2h.$

Багатокрокові методи використовують для обчислення наступного значення $y_{j+1}$ лише інформацію з напівінтервалу $[y_{j},y_{j+1})$. Багатокрокові методи базуються на заміні диференціального рівняння

$y(x)-f(x,y(x))=0,\quad \quad y(a)=s$

за сталого кроку $h$ різницевим рівнянням порядку $k$

$\sum _{j=0}^{k}a_{j}^{(k)}y-h\sum _{j=0}^{k}b_{j}^{(k)}f(x_{k+j},y_{k+j})=0,\quad \quad a_{k}^{(k)}\neq 0,\quad \quad (a_{0}^{(k)})^{2}+(b_{0}^{(k)})^{2}\neq 0,\quad \quad n=0,1,...,$

$y_{0}=s,y_{1},...,y_{k-1}$ - задані значення.

Кожний спосіб такого типу визначається поліномами

$p_{k}(z)=a_{k}^{(k)}z^{k}+a_{k-1}^{(k)}z^{k-1}+...+z_{0}^{(k)},\quad \quad \sigma _{k}(z)=b_{k}^{(k)}z^{k}+b_{k-1}^{(k)}z^{k-1}+...b_{0}^{(k)}.$

Якщо степінь $\sigma _{k}$ менше степені $p_{k},$ то говорять про явний (або відчинений) метод, якщо степені рівні, то про неявний (зачинений).

Приклад розв'язання в середовищі MATLAB

Розв'язання систем диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти є одним з найбільш поширених числових методів розв'язання в техніці. В середовищі MATLAB/Octave (досить поширена і зручна мова програмування для технічних обчислень) реалізований один з його різновидів — метод Дорманда-Принса.

Див. також

• Метод Ейлера
• Метод Адамса
• Метод Хенрічі
• Метод Мілна

Література

• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Розділи 16.1 і 16.2.).