Метод хорд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод хорд (іноді метод лінійного інтерполювання або метод пропорційних частин) — ітераційний числовий метод знаходження наближених коренів нелінійного алгебраїчного рівняння.

В цьому методі нелінійна функція на виділеному інтервалі замінюється лінійною (хордою) — прямою, що з'єднує кінці нелінійної функції.

Перші три ітерації методу хорд. Синім намальована функція f(x), червоним — хорди.

Метод[ред.ред. код]

Метод хорд визначається наступним рекурентним співвідношенням:

Як видно з цього відношення, метод хорд вимагає двох початкових точок, і , які в ідеалі мають бути вибрані в околі розв'язку.

Збіжність[ред.ред. код]

Скажімо, де є коренем а це похибки на n та n+1 ітераціях і це наближення на n та n+1 ітераціях. Якщо де це деяка стала , тоді швидкість збіжності метода який генерує становить

Ми покажемо, що метод хорд має надлінійну збіжність.

Доведення: Ітераційна схема для метода хорд така:

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

(2)

Нехай і тоді помилка на n ітерації в оцінюванні становить:

 

 

 

 

(3)

Використовуючи (3) і (2) ми маємо

 

 

 

 

(4)

По теоремі Лагранжа, таке, що

Ми маємо

тоді

 

 

 

 

(5)

Аналогічно

 

 

 

 

(6)

Підставляючи (5) і (6) у (4) ми отримуємо

тобто

 

 

 

 

(7)

За визначенням швидкості збіжності порядку

 

 

 

 

(8)

З (7) і (8) випливає

 

 

 

 

(9)

З (8) і (9) маємо

тоді отже

Тобто і значить Отже збіжність надлінійна.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Weisstein, Eric W. Метод хорд(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.