Метрика Лоренца
Було запропоновано приєднати цю статтю або розділ до Метрика простору-часу, але, можливо, це варто додатково обговорити. Пропозиція з грудня 2022. |
Ме́трика Ло́ренца — псевдоевклідова метрика простору Мінковського, що природно виникає у спеціальній теорії відносності, і як тривіальний частковий випадок — у загальній теорії відносності.
Плоский простір Мінковського з координатами , що використовується у спеціальній теорії відносності, має метричний тензор
Тут — звичайні прямокутні рівномасштабні декартові координати, а — час, виміряний у цій системі відліку, — швидкість світла.
За допомогою цього тензора визначається інтервал
інваріантний відносно перетворень Лоренца аналог і узагальнення 3-вимірної відстані у фізичному просторі на 4-вимірний простір час (в останній формулі двійка означає не індекс, а степінь).
Для кривої, всі точки якої стосуються одного й того ж моменту часу, формула довжини кривої зводиться до звичайної тривимірної форми. Для часоподібної кривої, формула довжини дає власний час уздовж кривої.
Метрика Мінковського є псевдоевклідовою метрикою: як бачимо, вона не додатно визначена, при цьому постійна (представлена не залежною від координат матрицею у звичайних декартових координатах) і описує, таким чином, плоский псевдоевклідів простір.
Всі закони фізики (якщо залишити осторонь гравітацію) записуються однаково у всіх інерціальних системах відліку, при цьому описана щойно метрика Лоренца інваріантна для всіх цих систем відліку, якщо використовувати природні фізичні процедури вимірювання. Перерахунок фізичних величин (зокрема відстаней і кутів) між різними системами відліку здійснюється перетвореннями Лоренца, що зберігають інваріантність цієї метрики.
Важливою особливістю метрики Мінковського є наявність світлового конуса, що складається з векторів нульової довжини і обмежує ділянки майбутнього і минулого відносно заданої події.
- Для метрики Мінковського (лоренцевої метрики), описаної тут, дуже часто застосовується спеціальне позначення .
- Іноді метрика Мінковського береться з протилежним знаком, тобто . Більше того, історично така сигнатура з'явилася першою у Мінковського, який ввів її за допомогою множення на уявну одиницю[джерело?], тобто (тоді метрика формально мала звичайний евклідів вигляд, тобто скалярний добуток обчислювався просто підсумовуванням добутків компонент, але реально була з точністю до знака тією ж, що й описана на початку цієї статті).
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — будь-яке видання.
- Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — будь-яке видання.
- Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.
- Герман Вейль. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности, — будь-яке видання.
- Дирак П. А. М. Общая теория относительности, — М.: Атомиздат, 1978.
- Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, — М.: ГИФМЛ, 1961.