Перейти до вмісту

Метрика Лоренца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ме́трика Ло́ренца — псевдоевклідова метрика простору Мінковського, що природно виникає у спеціальній теорії відносності, і як тривіальний частковий випадок — у загальній теорії відносності.

Плоский простір Мінковського з координатами , що використовується у спеціальній теорії відносності, має метричний тензор

Тут  — звичайні прямокутні рівномасштабні декартові координати, а  — час, виміряний у цій системі відліку,  — швидкість світла.

За допомогою цього тензора визначається інтервал

інваріантний відносно перетворень Лоренца аналог і узагальнення 3-вимірної відстані у фізичному просторі на 4-вимірний простір час (в останній формулі двійка означає не індекс, а степінь).

Для кривої, всі точки якої стосуються одного й того ж моменту часу, формула довжини кривої зводиться до звичайної тривимірної форми. Для часоподібної кривої, формула довжини дає власний час уздовж кривої.

Метрика Мінковського є псевдоевклідовою метрикою: як бачимо, вона не додатно визначена, при цьому постійна (представлена не залежною від координат матрицею у звичайних декартових координатах) і описує, таким чином, плоский псевдоевклідів простір.

Всі закони фізики (якщо залишити осторонь гравітацію) записуються однаково у всіх інерціальних системах відліку, при цьому описана щойно метрика Лоренца інваріантна для всіх цих систем відліку, якщо використовувати природні фізичні процедури вимірювання. Перерахунок фізичних величин (зокрема відстаней і кутів) між різними системами відліку здійснюється перетвореннями Лоренца, що зберігають інваріантність цієї метрики.

Важливою особливістю метрики Мінковського є наявність світлового конуса, що складається з векторів нульової довжини і обмежує ділянки майбутнього і минулого відносно заданої події.

Зауваження

[ред. | ред. код]
  • Для метрики Мінковського (лоренцевої метрики), описаної тут, дуже часто застосовується спеціальне позначення .
  • Іноді метрика Мінковського береться з протилежним знаком, тобто . Більше того, історично така сигнатура з'явилася першою у Мінковського, який ввів її за допомогою множення на уявну одиницю[джерело?], тобто (тоді метрика формально мала звичайний евклідів вигляд, тобто скалярний добуток обчислювався просто підсумовуванням добутків компонент, але реально була з точністю до знака тією ж, що й описана на початку цієї статті).

Література

[ред. | ред. код]
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — будь-яке видання.
  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ, — будь-яке видання.
  • Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии, — Логос, Москва, 2009.
  • Герман Вейль. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности, — будь-яке видання.
  • Дирак П. А. М. Общая теория относительности, — М.: Атомиздат, 1978.
  • Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения, — М.: ГИФМЛ, 1961.

Див. також

[ред. | ред. код]