Метрика Райснера–Нордстрема

Метрика Райснера — Нордстрема — статичний розв'язком рівнянь поля Ейнштейна–Максвелла, що відповідає гравітаційному полю зарядженого, не обертового, сферично-симетричного тіла масою M. Аналогічний розв'язок для зарядженого тіла, що обертається, дається метрикою Керра–Ньюмена.

Метрика була відкрита між 1916 і 1921 роками незалежно один від одного її відкрили Ганс Райснер, Герман Вейль, Гуннар Нордстрем і Джордж Баркер Джеффрі.

Метрика

У сферичних координатах $(t,r,\theta ,\varphi )$, метрика Райснера — Нордстрема дається виразом $ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},$ де $c$ це швидкість світла, $\tau$ — власний час, $t$ — координата часу (вимірюється стаціонарним годинником на нескінченності), $r$ — радіальна координата, $(\theta ,\varphi )$ — сферичні кути, $r_{\text{s}}$ — радіус Шварцшильда тіла, заданий як $r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},$ а $r_{Q}$ — інший характерний масштаб довжини, заданий формулою $r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.$ Тут $\varepsilon _{0}$ — електрична стала.

Загальна маса центрального тіла та його незвідна маса $M_{\rm {irr}}$ пов'язані співвідношенням $M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.$

Різниця між $M$ і $M_{\rm {irr}}$ обумовлена внеском у загальну масу від енергії електричного поля (див. також еквівалентність маси та енергії).

В граничному випадку, коли заряд $Q$ (або, що еквівалентно, шкала довжини $r_{Q}$) прямує до нуля, метрика Райснера — Нордстрема переходить у метрику Шварцшильда. Класична ньютонівська теорія гравітації реалізується у випадку, коли відношення $r_{\text{s}}/r$ прямує до нуля. А у випадку, коли і $r_{Q}/r$, і $r_{\text{s}}/r$ обидва прямують до нуля, метрика стає метрикою Мінковського для спеціальної теорії відносності.

Заряджені чорні діри

Хоча заряджені чорні діри з r_Q ≪ r_s подібні до чорної діри Шварцшильда, вони мають два горизонти: горизонт подій і внутрішній горизонт Коші. Як і у випадку з метрикою Шварцшильда, горизонти подій для простору-часу розташовані там, де компонент метрики $g_{rr}$ розходиться; тобто де

$$1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.$$

Це рівняння має два розв'язки:

$$r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).$$

Ці концентричні горизонти подій стають виродженими для 2r_Q = r_s, що відповідає екстремальній чорній дірі. Чорні діри з 2r_Q > r_s не можуть існувати в природі, оскільки для них не може бути фізичного горизонту подій (член під квадратним коренем стає від'ємним). У природі можуть існувати об'єкти із зарядом, що перевищує їхню масу (у безрозмірних природних одиницях G = M = c = K = 1), але вони не можуть колапсувати до чорної діри, а якби могли, вони б мали голу сингулярність. Суперсиметричні теорії зазвичай гарантують, що такі «суперекстремальні» чорні діри не можуть існувати.

Електромагнітний потенціал має вигляд

$$A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).$$

Гравітаційне уповільнення часу

Гравітаційне уповільнення часу в околицях центрального тіла визначається як $$\gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},$$

що дозволяє розрахувати локальною радіальну швидкість вильоту нейтральної частинки $$v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.$$

Символи Крістофеля

Символи Крістофеля $$\Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)$$ з індексами $$\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}$$ мають ненульові компоненти $${\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&=-{\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}$$

Враховуючи символи Крістоффеля, можна обчислити геодезичні пробної частинки.

Тетрадна форма

Замість того, щоб працювати в голономному базисі, можна виконувати ефективні обчислення за допомогою тетради. Нехай ${\bf {e}}_{I}=e_{\mu I}$ буде набором один-форм із внутрішнім індексом Мінковського $I\in \{0,1,2,3\}$, так що $\eta ^{IJ}e_{\mu I}e_{\nu J}=g_{\mu \nu }$. Метрику Райснера можна описати за допомогою тетради

${\bf {e}}_{0}=G^{1/2}\,dt$ ,

${\bf {e}}_{1}=G^{-1/2}\,dr$ ,

${\bf {e}}_{2}=r\,d\theta$

${\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi$

де $G(r)=1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{2}r^{-2}$. Паралельне перенесення тетради виражається один-формою зв'язності ${\boldsymbol {\omega }}_{IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{JI}=\omega _{\mu IJ}=e_{I}^{\nu }\nabla _{\mu }e_{J\nu }$. Ці формули мають лише 24 незалежні компоненти порівняно з 40 компонентами $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$. Зв'язки можна визначити шляхом аналізу рівняння Картана $d{\bf {e}}_{I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}$, де ліва частина — зовнішня похідна тетради, а права — зовнішній добуток.

${\boldsymbol {\omega }}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt$

${\boldsymbol {\omega }}_{20}={\boldsymbol {\omega }}_{30}=0$

${\boldsymbol {\omega }}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta$

${\boldsymbol {\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi$

${\boldsymbol {\omega }}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi$

Тензор Рімана ${\bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}$ можна побудувати як сукупність два-форм за допомогою другого рівняння Картана ${\bf {R}}_{IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{IK}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{K}{}_{J},$ що знову ж таки використовує зовнішню похідну та зовнішній добуток. Цей підхід значно швидший, ніж традиційне обчислення через $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$; зауважте, що є лише чотири ненульових значення ${\boldsymbol {\omega }}_{IJ}$ проти дев'яти ненульових компонент $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$.

Рівняння руху

Через сферичну симетрію метрики систему координат завжди можна орієнтувати таким чином, що рух пробної частинки відбувався в даній площині, тому для стислості та без обмеження загальності ми використовуємо θ замість φ. У безрозмірних природних одиницях G = M = c = K = 1 рух електрично зарядженої частинки із зарядом q задається формулою $${\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}$$що дає $${\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}$$$${\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}$$$${\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.$$

Усі повні похідні взяті за власним часом, ${\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}$.

Константи руху задаються розв'язками $S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})$ рівняння в частинних похідних $$0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}$$після заміни других похідних, наведених вище. Сама метрика є розв'язком, якщо її записати як диференціальне рівняння $$S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.$$

Рівняння з відокремлюваними змінними$${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0$$негайно дає сталий релятивістський питомий кутовий момент $$S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};$$Третя константа інтегрування, отримана з рівняння$${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0$$є питомою енергією (енергією на одиницю маси спокою) $$S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.$$

Підставляючи $S_{2}$ і $S_{3}$ в $S_{1}$, отримуємо радіальне рівняння $$c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$$

Множення під знаком інтеграла на $S_{2}$ дає рівняння орбіти $$c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$$

Загальне уповільнення часу між пробною частинкою та спостерігачем на нескінченності становить $$\gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.$$

Перші похідні ${\dot {x}}^{i}$ і контраваріантні компоненти локальної 3-швидкості $v^{i}$ пов'язані між собою формулою $${\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},$$що дає початкові умови $${\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}$$$${\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.$$

Питома орбітальна енергія $$E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}$$і питомий відносний кутовий момент $$L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}$$пробної частинки є інтегралами руху. $v_{\parallel }$ і $v_{\perp }$ — радіальна та поперечна складові локального вектора швидкості. Тому локальна швидкість дорівнює $$v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.$$

Альтернативне формулювання метрики

Метрику можна виразити у формі Керра—Шилда наступним чином: $${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}$$

Зауважте, що k є одиничним вектором. Тут M — стала маса об'єкта, Q — сталий заряд об'єкта, а η — тензор Мінковського.

Квантово-гравітаційні поправки до метрики

У деяких підходах до квантової гравітації до класичної метрики Райснера–Нордстрема додають квантові поправки. Прикладом цього є підхід до теорії ефективного поля, започаткований Барвінським і Вілковіським. У другому порядку кривини класична дія Ейнштейна-Гільберта доповнюється локальними та нелокальними членами:

$\Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg (}{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c_{3}(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},$

де $\mu$ є енергетичною шкалою. (Тут $R_{\mu \nu \rho \sigma }$ скорочується з $R^{\mu \nu \rho \sigma }$, а скорочується з $R^{\mu \nu }$.) Точні значення коефіцієнтів $c_{1},c_{2},c_{3}$ невідомі, оскільки вони залежать від природи ультрафіолетової теорії квантової гравітації. З іншого боку, коефіцієнти $\alpha ,\beta ,\gamma$ піддаються обчисленню. Оператор $\ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)$ має інтегральне представлення

$\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).$

Нові додаткові члени в дії передбачають модифікацію класичного рішення. Скоригована квантовими ефектами метрика Райснера–Нордстрема до членів порядку ${\mathcal {O}}(G^{2})$ була знайдена Кампосом Дельгадо:

$ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},$

де

$f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\bigg [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},$

$g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Big [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\Big ]}.$

Література

• Adler, R.; Bazin, M.; Schiffer, M. (1965). Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company. с. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press. с. 158, 312—324. ISBN 978-0-226-87032-8. Процитовано 27 квітня 2013.

Посилання

• Spacetime diagrams, Andrew J. S. Hamilton
• "Particle Moving Around Two Extreme Black Holes", Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrations Project.