Метрика (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ілюстрація порівняння манхеттенської метрики з евклідовою метрикою на площині: шляхи (червоний, жовтий і синій) мають однакову довжину (12) у манхеттенський метриці. А в евклідовій метриці, зелений шлях має довжину і це єдиний найкоротший шлях.

Метрика або функція відстані в математиці, — це функція, яка визначає відстань між кожною парою елементів множини. Множина з метрикою називається метричним простором. Метрика індукує топологію на множині, але не всі топології можуть бути породжені метрикою.Топологічний простір, чия топологія описана метрикою називається метризованим.

Важливим джерелом метрик в диференціальній геометрії є метричний тензор, білінійні форми, якого можуть бути визначені як скаляр на дотичних векторах на диференційовному многовиді. За допомогою метричного тензору через інтегрування можна визначити довжину кривих і тим самим задати метрику. Однак, не кожну метрику можна отримати з метричного тензору у такій спосіб.

Визначення[ред. | ред. код]

Метрика множині X — це функція (називають функція відстані або просто відстань)

,

де  — множина невід'ємних дійсних чисел і для всіх , виконуються наступні умови:

1. не від'ємність
2. тотожність
3. симетричність
4. субадитивність або нерівність трикутника

Умови 1 та 2 визначають додатньо-визначену функцію. Метрика називається ультраметрикою, якщо вона задовольняє більш сильному варіанту нерівності трикутника, коли немає точок між іншими точками:

для всіх

Метрика d на X називається внутрішньою метрикою, якщо будь-яку пару точок x та y в X можна з'єднати кривою з довжиною довільно близькою до d(x, y).

Для множин, на яких визначено додавання + : X × XX, d називають трансляційною інваріантною метрикою, якщо

для всіх .

Див. також[ред. | ред. код]