Метричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метри́чний про́стір — це пара (), яка складається з деякої множини елементів і відстані , визначеної для будь-якої пари елементів цієї множини.

Формальне визначення[ред.ред. код]

Метричним простором називається пара , яка складається з деякої множини елементів і відстані , а саме однозначної, невід'ємної, дійсної функції , визначеної для , яка задовільняє такі 3 аксіоми:

  1. (аксіома тотожості).
  2. (аксіома симетрії).
  3. (нерівність трикутника).

Невід'ємність доводиться за допомогою таких міркувань:

Приклади метричних просторів[ред.ред. код]

  1. Простір ізольованих точок
  2. Множина дійсних чисел утворює метричний простір
  3. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню

    називається n-вимірним арифметичним евклідовим простором .
  4. Ту саму множину впорядкованих груп з n дійсних чисел , але з відстанню

    позначимо простором .
  5. Знову візьмемо ту саму множину, що в прикладах 3 і 4, і визначимо відстань між його елементами формулою:

    Цей простір в багатьох питаннях аналізу не менш зручний, ніж евклідовий простір .
  6. Множина всіх неперервних дійсних функцій, визначених на проміжку з відстанню
  7. Позначимо через метричний простір, точками якого слугують всі можливі послідовності дійсних чисел, що задовільняють умові: , а відстань визначається формулою:
  8. Розглянемо, як і в прикладі 6, сукупність усіх функцій, неперервних на відрізку , але відстань визначимо по-іншому, а саме:

    Такий метричний простір позначимо і будемо називати простором неперервних функцій з квадратичною метрикою.
  9. Розглянувши множину усіх обмежених послідовностей дійсних чисел, отримаємо простір з метрикою:
  10. Множина впорядкованих груп з n дійсних чисел з відстанню
    ,
    де  — будь-яке фіксоване число . Цей простір позначимо

Метричні простори та аксіоми зліченності[ред.ред. код]

1. Будь-який метричний простір задовільняє першу аксіому зліченності.

2. Якщо метричний простір сепарабельний, то він задовільняє другу аксіому зчисленності.

Відкриті і замкнуті множини, топологія і збіжність[ред.ред. код]

Будь-який метричний простір є топологічним простором, тому всі визначення і теореми, що стосуються топологічних просторів, можна природнім чином поширити на метричні простори.

Для будь-якої точки метричного простору визначимо відкриту кулю радіуса з центром в точці , як множину . Такі відкриті кулі породжують топологію на , а значить і топологічний простір. Породжена топологія задовільняє багатьом хорошим умовам, як наприклад всі аксіоми віддільності.

Підмножина метричного простору називається відкритою, якщо , такий що Доповненням до відкритої множини називається замкнута множина. Околом точки називається будь-яка відкрита підмножина , що містить .

Послідовність метричного простору називається збіжною до границі тоді і тільки тоді, коли Також можна використовувати загальне означення збіжності для топологічного простору.

Підмножина метричного простору замкнена тоді і тільки тоді, коли будь-яка послідовність збіжна в і має границю, що належить .

Гомеоморфізм. Ізоморфізм[ред.ред. код]

Якщо відображення взаємно однозначне, то існує обернене відображення простору на простір . Якщо відображення взаємно однозначне і взаємно неперервне, то воно називається гомеоморфним відображенням або гомеоморфізмом, а самі простори та , між якими можно встановити гомеоморфізм, називаються гомеоморфними між собою. Важливим окремим випадком гомеоморфізму є так зване ізометричне відображення.

Кажуть, що бієкція між метричними просторами і є ізометрією, якщо . Простори і , між якими можна встановити ізометричне співвідношення, називаються ізометричними.

Ізометрія просторів означає, що метричні зв'язки між їх елементами одні і ті ж самі; різною може бути лише природа їх елементів, що з точки зору теорії метричних просторів несуттєве. Ізометричні між собою простори можна розглядати як тотожні.

Типи метричних просторів[ред.ред. код]

Повні простори[ред.ред. код]

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною до елемента цього простору: .

Будь-який евклідів простір, як і будь-яка замкнена множина, є повним метричним простором.

Будь-який метричний простір має єдине(з точністю до ізометрії) поповнення, що складається з повного метричного простору, який містить даний простір у вигляді щільної підмножини.

Якщо повна підмножина метричного простору , то є замкненим в . Дійсно, простір є повним тоді і тільки тоді, коли він є замкненим у повному метричному просторі .

Якщо  — повний метричний простір, то є множиною другої категорії (англ.).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 
  2. П. І. Голод; А. У. Клімик (1992). Математичні основи теорії симетрій (українська). Київ: Наукова Думка. ISBN 5-12-002743-1. 
Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.