Механіка Лагранжа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\mathbf {F}}={\frac {d{\mathbf {p}}}{dt}}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки[en]

Меха́ніка Лагра́нжа — одне з аналогічних до законів Ньютона формулювань класичної механіки, що використовує принцип стаціонарної дії Гамільтона — Остроградського. Лагранжева механіка застосовується до систем, в яких так чи інакше зберігається енергія або імпульс, і визначає умови зберігання енергії або імпульсу. Була запропонована французько-італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем у 1788 році.

У механіці Лагранжа траєкторія визначається розв'язком однієї з двох форм рівнянь Лагранжа: рівняння Лагранжа I роду, яке явно враховує зв'язки, використовуючи додаткові рівняння (зазвичай із використанням множників Лагранжа), або рівняння Лагранжа II роду, що враховує зв'язки за допомоги розумного вибору узагальнених координат. За основною лемою варіаційного числення розв'язок рівнянь Лагранжа еквівалентний до знаходження траєкторії, що залишає стаціонарним функціонал дії (інтеграл за часом від функції Лагранжа).

Використання узагальнених координат може значно спростити розв'язок рівнянь механіки, зокрема при розгляді систем із зв'язками. Розглянемо як приклад рух кульки у жолобі без тертя. Якщо розглядати кульку як матеріальну точку, то для визначення її руху необхідно розв'язати рівняння ньютонівської механіки для змінної у часі сили реакції зв'язків, яка утримує кульку в жолобі. В механіці Лагранжа розглядається безпосередньо траєкторія жолоба й обирається набір незалежних узагальнених координат, який повністю визначає можливий рух кульки. Такий вибір координат усуває потребу у використанні сили реакції зв'язків у остаточній системі механічних рівнянь. Таким чином, завдяки виключенню з рівнянь явного врахування реакції жолоба на кульку остаточна кількість рівнянь зменшується.

Фундаментальні поняття[ред.ред. код]

Узагальнені координати[ред.ред. код]

Термінологія й концепція[ред.ред. код]

Для окремої частинки, що знаходиться під дією зовнішніх сил, можна отримати за другим законом Ньютона систему трьох диференціальних рівнянь другого порядку, по одному для кожного виміру. Отже, рух такої частинки повністю визначатиметься шістьма незалежними змінними: трьома початковими координатами й трьома початковими швидкостями. Враховуючи це, зрозуміло, що загальні розв'язки рівнянь Ньютона перетворюються на частинні розв'язки, що визначають часову еволюцію частинки з початкового стану (t = 0).

Стандартним набором змінних, що визначають положення Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_j = (r_1, r_2, r_3)} і швидкість Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {\dot {r}} _{j}=({\dot {r_{1}}},{\dot {r_{2}}},{\dot {r_{3}}})} , є декартові координати та їхні часові похідні і Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle (v_x, v_y, v_z)} відповідно). Визначення сил у термінах стандартних координат, взагалі кажучи, доволі тяжке.

Інший, більш ефективний підхід — використання лише такої кількості координат, яка потрібна для визначення положення частинки в просторі, враховуючи накладені на неї зв'язки і записуючи потенціальну й кінетичну енергії (іншими словами, визначається кількість ступенів вільності частинки). Енергії легше записувати і розраховувати, ніж сили, оскільки енергія є скалярною величиною, на відміну від сили, яка є величиною векторною.

Подібні координати мають назву узагальнених координат і позначаються Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle q_j} , кожна узагальнена координата відповідає одній ступені вільності. Відповідні часові похідні є узагальненими швидкостями . Кількість ступенів вільності не завжди відповідає розмірності простору: наприклад, системи багатьох тіл у тривимірному просторі (наприклад, маятник Бартона, планети у Сонячній системі, атоми в молекулах) можуть мати окрім поступальних ще й обертальні ступені вільності. Така кількість ступенів вільності різко контрастує з кількістю просторових координат у ньютонівських рівняннях.

Математичне формулювання[ред.ред. код]

Радіус-вектор Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\mathbf {r}} у деякій стандартній системі координат (декартовій, сферичній і т. д.) зв'язаний із узагальненими координатами трансформаційним рівнянням:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r} = \mathbf{r} (q_1, ..., q_N, t),}

де N — кількість ступенів вільності системи. Аналогічне рівняння зв'язує швидкість у стандартній системі координат і узагальнені швидкості.

Візьмемо в якості ілюстрації маятник довжиною l. Легко бачити, що на таку систему накладається зв'язок у вигляді нитки або стрижня, що закріплюють висок маятника. Положення виска Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\mathbf {r}} залежить від координат x і y в момент часу t, тобто, Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}(t) = \mathbf{r} (x(t), y(t))} , але окрім того координати x і y зв'язані між собою рівнянням в'язі (тому при зміні x змінюється y і навпаки). Отже, розумним вибором узагальненої координати буде кут відхилення маятника від рівноваги θ, тож Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}(t) = \mathbf{r} (x(\theta), y(\theta)) = \mathbf{r} (\theta)} , причому Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \theta = \theta (t)} , що відповідає одній ступені вільності маятника. Тоді трансформаційне рівняння для радіус-вектора матиме вигляд:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbf {r} (\theta (t))=\mathbf {r} (l\sin \theta (t),-l\cos \theta (t)),}

а для швидкості:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \dot{\mathbf{r}}(\theta (t), \dot{\theta} (t)) = \mathbf{r} (l \dot{\theta} \cos\theta (t), l \dot{\theta} \sin\theta (t)).}

У загальному випадку N узагальнених координат зв'язуються із системою n частинок за допомоги системи трансформаційних рівнянь[1]:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{r c l} \mathbf{r}_1 &=& \mathbf{r}_1(q_1, q_2, \cdots, q_N, t), \\ \mathbf{r}_2 &=& \mathbf{r}_2(q_1, q_2, \cdots, q_N, t), \\ & \vdots & \\ \mathbf{r}_n &=& \mathbf{r}_n(q_1, q_2, \cdots, q_N, t). \end{array}}

Вираз для віртуального переміщення Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}} для системи з незалежними від часу зв'язками є повним диференціалом[2]:

Отже, узагальнені координати формують дискретний набір змінних, що визначають конфігурацію системи. Поширюючи подібний набір на континуум, можна отримати польові змінні, наприклад, Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \varphi (r,t)} , що являє собою залежну від положення й часу функцію густини поля.

Принцип д'Аламбера — Лагранжа й узагальнені сили[ред.ред. код]

Принцип д'Аламбера — Лагранжа вводить поняття віртуальної роботи Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): \delta A зовнішніх сил Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_i} та сил інерції у тривимірній системі n частинок, рух яких узгоджений із накладеними зв'язками. Віртуальна робота з віртуального переміщення Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \delta \mathbf{r}_i} (узгодженого із зв'язками) частинки масою Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle m_i} дорівнює:

Принцип д'Аламбера — Лагранжа

де Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{a}_j}  — прискорення j-ої частинки. У термінах узагальнених координат:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \delta A = \sum_{j=1}^N \sum_{i=1}^n ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j= 0.}

Можна показати, що прикладені сили можна виразити через узагальнені сили Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Q_{j}} , продиференціювавши віртуальну роботу за :

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle Q_j = \frac{\delta A}{\delta q_j} = \sum_{i=1}^n \mathbf {F}_{i} \frac{\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j}.}

Якщо сили Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_i} консервативні, то можна ввести скалярний потенціал Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): V , градієнт якого дорівнює тій самій силі:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf F_i = - \nabla V \Rightarrow Q_j = - \sum_{i=1}^n \nabla V \cdot \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} = - \frac {\partial V}{\partial q_j}.}

Тобто, узагальнені сили можна звести до скалярного потенціалу в термінах узагальнених координат. Цього слід було очікувати, оскільки потенціал є функцією координат Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_i} , які в свою чергу залежать від узагальнених координат. Тому, використовуючи правило диференціювання складної функції, легко отримати попередній результат.

Співвідношення для кінетичної енергії[ред.ред. код]

Кінетична енергія Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): T для системи n частинок визначається таким чином:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf {\dot{r}}_i^2.}

Запишемо частинні похідні від Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): T за узагальненими координатами й узагальненими швидкостями Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \dot{q}_j} :

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial T}{\partial q_j} = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf \dot{r}_i \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j},}
Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}{\frac {\partial \mathbf {\dot {r}} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}.}

Оскільки Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle q_j} і Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \dot{q}_j} є незалежними, то виконується таке співвідношення:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j},}

тоді:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {\dot {r}} _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}.}

Візьмемо від цього виразу повну похідну за часом:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \Bigr) = \sum_{i=1}^n m_i \mathbf \ddot{r}_i \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} + \mathbf \dot{r}_i \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial q_j} = Q_j + \frac{\partial T}{\partial q_j}.}

Остаточно маємо таке рівняння[2]:

Узагальнене рівняння руху

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_j} \Bigr) - \frac{\partial T}{\partial q_j}.}

Це важливе рівняння, оскільки воно вже містить закони Ньютона, але вже немає потреби знаходити сили реакції зв'язків, оскільки в рівнянні використовуються віртуальна робота й узагальнені координати, які залежать від зв'язків. На практиці це рівняння використовується нечасто, але воно грає важливу роль при виведенні рівнянь Лагранжа.

Функція Лагранжа і функціонал дії[ред.ред. код]

Докладніше: Лагранжіан

Основою лагранжевої механіки є функція Лагранжа (лагранжіан), яка зберігає всю інформацію про динаміку системи у вигляді дуже простого виразу. Так, для дослідження динаміки системи обирається набір відповідних узагальнених координат, визначаються кінетична й потенціальна енергії складових елементів системи, далі записується функція Лагранжа, що визначається таким чином:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle L = T-V,}

де Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): T  — повна кінетична енергія системи, Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): V  — повна потенціальна енергія системи.

Іншим важливим поняттям лагранжевої механіки є дія Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): S , що визначається як інтеграл за часом від функції Лагранжа:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)\mathrm {d} t.}

Дія також зберігає інформацію про динаміку системи й має велике значення в теоретичній фізиці. З математичної точки зору дія — це функціонал: її значення залежить від повної функції Лагранжа для будь якого моменту часу між t1 і t2. Розмірність дії збігається з розмірністю кутового моменту.

У теорії поля функція Лагранжа записується через густину лагранжіануНеможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}} :

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle L = \int_{V} \mathcal{L} \mathrm{d}^3 r,}

тоді дія матиме такий вигляд:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{3}r\mathrm {d} t.}

Принцип стаціонарної дії Гамільтона — Остроградського[ред.ред. код]

Нехай q0 і q1 — координати у початковий та кінцевий моменти часу t0 і t1. За допомоги варіаційного числення можна показати, що рівняння Лагранжа є прямим наслідком принципа Гамільтона — Остроградського:

Траєкторія між моментами часу t0 і t1 залишає стаціонарним функціонал дії S.

Під стаціонарністю мається на увазі незмінність першої варіації функціонала дії при малих змінах траєкторії, кінці якої (q0, t0) й (q1, t1) фіксовані. В математичній формі принцип Гамільтона — Остроградського записується так:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \delta S=0.}

Таким чином, замість розглядання частинок, що прискорюються внаслідок прикладання до них деяких сил, можна розглядати частинки, що рухаються за деякою траєкторією, що залишає стаціонарним функціонал дії. Принцип Гамільтона — Остроградського часто пов'язують із принципом найменшої дії, хоча функціонал дії має залишатися лише стаціонарним, необов'язково мінімальним чи максимальним. Наприклад, якщо розглядати гармонічний осцилятор для більшого за період проміжку часу, можна помітити, що для малих ділянок траєкторії значення дії може бути мінімальним, тоді як для великих — максимальним[3].

Принцип стаціонарної дії може використовуватися замість законів Ньютона в якості фундаментального принципа механіки, що дозволяє будувати механіку на основі інтегрального принципа замість диференціального (який складають закони Ньютона, що базуються на диференціальних рівняннях). Але слід зазначити, що принцип Гамільтона — Остроградського працює як варіаційний принцип лише для голономних зв'язків (тобто, таких зв'язків, що можна виразити у вигляді рівності типу Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle f(\mathbf{r},t)=0} ). Для неголономних зв'язків прнинцип Гамільтона — Остроградського необхідно замінити варіаційними принципом, що ґрунтується на принципі д'Аламбера — Лагранжа для віртуальної роботи. Розгляд лише голономних зв'язків — ціна, яку ми платимо за використання елегантного варіаційного формулювання механіки.

Рівняння Лагранжа першого роду[ред.ред. код]

Лагранж запропонував і використав у механіці наступний аналітичний метод пошуку стаціонарних точок за допомогою методу невизначених множників. Отже, нехай на систему накладений зв'язок, що визначаються таким рівнянням:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle f(r_1,r_2,r_3) = A,}

де A — константа. Тоді можна ввести рівняння Лагранжа першого роду, що виглядає таким чином:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \Bigl[ \frac{\partial L}{\partial r_j} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}_j}\Bigr)\Bigr] + \lambda\frac{\partial f}{\partial r_j} = 0,}

де λ — невизначений множник Лагранжа. Використовуючи варіаційну похідну Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\delta L}{\delta r_j} = \frac{\partial L}{\partial r}_j - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}_j}\Bigr)} від функції Лагранжа, можна переписати рівняння так:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\delta L}{\delta r_j} + \lambda\frac{\partial F}{\partial r_j} = 0.}

Для m рівнянь зв'язків fα існують множники Лагранжа для кожного з цих рівнянь, тож рівняння Лагранжа першого роду можна узагальнити таким чином:

Рівняння Лагранжа (першого роду)

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\frac {\delta L}{\delta r_{j}}}+\sum _{\alpha =1}^{m}\lambda _{\alpha }{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial r_{j}}}=0.}

Подібна процедура збільшує кількість рівнянь, але їх достатньо для знаходження усіх множників Лагранжа. Повна кількість рівнянь складається з кількості рівнянь зв'язків та кількості координат, тобто m + n. Перевага такого методу полягає у можливості оминути іноді доволі складну заміну змінних, що зв'язані рівняннями в'язів.

Існує зв'язок між рівняннями в'язів fα та силами їх реакції Nα, що діють у консервативній системі (тобто, сили є консервативними):

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle N_j = \sum_{\alpha=1}^m \lambda_{\alpha} \frac{\partial f_{\alpha}}{\partial r_j}.}

Рівняння Лагранжа другого роду[ред.ред. код]

Рівняння Ейлера — Лагранжа[ред.ред. код]

Для системи з N ступенями вільності рівняння Лагранжа містять N узагальнених координат і N узагальнених швидкостей. У лагранжевій механіці основними рівняннями руху є рівняння Лагранжа другого роду, або рівняння Ейлера — Лагранжа:

Рівняння Лагранжа (другого роду)

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \Bigr) = \frac {\partial L}{\partial q_j}.}

Якщо у системі діють непотенціальні сили, рівняння Ейлера — Лагранжа матимуть такий вигляд:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i^\prime,}

де  — узагальнена непотенціальна сила.

Хоча математичний апарат лагранжевої механіки більш складний за ньютонівську механіку, рівняння Лагранжа дають більш глибоке розуміння сутності класичної механіки: наприклад, симетрії та законів збереження. На практиці набагато легше розв'язати рівняння Лагранжа, ніж рівняння Ньютона, оскільки лагранжев підхід потребує мінімальну кількість узагальнених координат з огляду на симетрію системи, а сили реакції зв'язків вже включені до геометрії системи. Для кожної узагальненої координати потрібне лише одне рівняння Лагранжа.

У системі багатьох частинок кожна частинка може мати свою, відмінну від інших кількість ступенів вільності. У кожному з рівнянь Лагранжа T являє собою повну кінетичну енергію системи, а Vповну потенціальну енергію.

Виведення рівнянь Лагранжа[ред.ред. код]

Принцип Гамільтона — Остроградського[ред.ред. код]

Рівняння Ейлера — Лагранжа можна вивести безпосередньо з принципу Гамільтона — Остроградського, бо вони є математично еквівалентними. З варіаційного числення відомо: якщо на певний функціонал J у вигляді

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle J = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y^{\prime}) \mathrm{d}t}

накласти умову стаціонарності, то функція F задовольнятиме таке рівняння:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac{\partial F}{\partial y^{\prime}} \Bigr) = \frac{\partial F}{\partial y}.}

Тепер, якщо зробити заміни позначень:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle x\rightarrow t,\quad y\rightarrow q,\quad y^{\prime }\rightarrow {\dot {q}},\quad F\rightarrow L,\quad J\rightarrow S,}

легко отримати рівняння Ейлера — Лагранжа. Оскільки рівняння Гамільтона можна отримати з рівнянь Лагранжа (за допомоги перетворень Лежандра), а рівняння Лагранжа — з законів Ньютона, причому всі ці рівняння еквівалентні одні одному й підсумовують класичну механіку, то можна зробити висновок про те, що класична механіка ґрунтується на варіаційному принципі (принципі Гамільтона — Остроградського).

Узагальнені сили[ред.ред. код]

Для консервативної системи, коли потенціальна енергія є функцією і не залежить від швидкості, рівняння Лагранжа випливають безпосередньо з узагальненого рівняння руху:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle Q_j = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac {\partial \mathcal (L + V)}{\partial \dot{q}_j} \Bigr) - \frac {\partial \mathcal (L + V)}{\partial q_j} = \Bigl[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \Bigr) +0 \Bigr] - \Bigl[ \frac {\partial L}{\partial q_j} + \frac {\partial V}{\partial q_j} \Bigr] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \Bigl( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \Bigr) - \frac {\partial L}{\partial q_j} + Q_j,}

яке спрощується:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\partial q_j}.}

Закони Ньютона[ред.ред. код]

Як видно з описаного нижче виведення, ніякої нової фізики не вводиться, тому рівняння Лагранжа описують динаміку класичної системи еквівалентно законам Ньютона.

Якщо взяти Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle q_i = r_i} (тобто, в ролі узагальнених координат виступають декартові координати), то легко побачити, що рівняння Лагранжа зводяться в такому випадку до другого закону Ньютона.

Дисипативна функція[ред.ред. код]

У більш загальному випадку сили можуть бути як потенціальними, так і дисипативними. Якщо відповідне перетворення можна знайти з Fi, то можна ввести дисипативну функцію D за Релеєм у такому вигляді[4]:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle D = \frac {1}{2} \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N C_{j k} \dot{q}_j \dot{q}_k,}

де Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle C_{j k}} — константи, що пов'язані з коефіцієнтами затухання, але необов'язково їм дорівнюють.

Якщо D визначена таким чином, то:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}},}

тому:

Приклади використання[ред.ред. код]

Механічний осцилятор[ред.ред. код]

У випадку класичного одновимірного механічного осцилятора (без тертя) функція Лагранжа має такий вигляд:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle L(x,\dot x,t) = \frac{1}{2}m\dot x^2 - \frac{1}{2}kx^2 }

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle k - } коефіцієнт пружності.

Рівняння Лагранжа приймає вигляд:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot x}} - \frac{\partial L}{\partial x} = m\ddot x + kx = 0 }

тобто такий самий, що й у випадку стандартиного підходу без використання функції Лагранжа.

Електричний осцилятор[ред.ред. код]

У випадку класичного електричного осцилятора (без втрат) функція Лагранжа має такий вигляд:

Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)={\frac {1}{2}}L_{0}{\dot {q}}^{2}-{\frac {1}{2C_{0}}}q^{2}}

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle L_0 - } індуктивність та Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle C_0 - } ємність, LC-контура, а електричний заряд.

Рівняння Лагранжа приймає вигляд:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = L_0\ddot q + \frac{1}{C_0}q = 0 }

тобто такий самий, що й у випадку підходу, що не використовує функцію Лагранжа.

Релятивістська механіка[ред.ред. код]

Функція Лагранжа у випадку релятивістського руху вільної частинки з масою Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle m } має вигляд:

Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle L = -mc^2\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

де Неможливо розібрати вираз (Помилка перетворення. Сервер ("https://uk.wikipedia.org/api/rest_") повідомив: "Cannot get mml. Server problem."): c  — швидкість світла, а Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): v  — швидкість частинки.

Розширення механіки Лагранжа[ред.ред. код]

Функцію Гамільтона (гамільтоніан), що позначається , можна отримати при виконанні перетворень Лежандра над функцією Лагранжа, які вводять нові, канонічно спряжені з первісними координатами змінні[3]. Ці перетворення збільшують кількість змінних у два рази, але зменшують порядок диференціальних рівнянь до першого. Гамільтоніан є основою для іншого формулювання класичної механіки — гамильтонової механіки, й грає виключну роль у фізиці, особливо у квантовій механіці (див. Гамільтоніан).

У 1948 році Фейнман винайшов формалізм інтегралів вздовж траєкторій і поширив принцип найменшої дії на квантову механіку для електронів і фотонів. За цим формалізмом частинки переміщуються за всіма можливими траєкторіями між початковим і кінцевим станами; ймовірність певного кінцевого стану можна визначити за допомоги підсумовування (інтегрування) за всіма можливими траєкторіями, що закінчуються цим станом[5][6]. У класичному випадку формалізм інтеграла вздовж траєкторій повністю відтворює принцип Гамільтона — Остроградського й оптичний принцип Ферма.

Див. також[ред.ред. код]

Виноски[ред.ред. код]

  1. Голдстейн Г., Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. — Ижевск : РХД, 2012. — 828 с. (§1.3. Связи.)
  2. а б Голдстейн Г., Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. — Ижевск : РХД, 2012. — 828 с. (§1.4. Принцип Даламбера и уравнение Лагранжа.)
  3. а б Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  4. Голдстейн Г., Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика. — Ижевск : РХД, 2012. — 828 с. (§6.5. Вынужденные колебания и диссипативные силы.)
  5. Вакарчук І.О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с. (§31. Квантова механіка та інтеґрали за траєкторіями.)
  6. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М. : Мир, 1968. — 384 с.

Література[ред.ред. код]

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Іро Г. Класична механіка = Klassische Mechanik. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с.
  • Федорченко А. М. Класична механіка і електродинаміка // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1992. — Т. 1. — 535 с.
  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М. : Наука, 1989. — 472 с.
  • Голдстейн Г., Пул Ч., Сафко Дж. Классическая механика = Classical Mechanics. — Ижевск : РХД, 2012. — 828 с.
  • Лагранж Л. Аналитическая механика = Mécanique analytique. — М. : ГИТТЛ, 1950. — 594+440 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2007. — Т. 1. — 224 с.
  • Лич Дж. У. Классическая механика = Classical Mechanics. — М. : ИЛ, 1961. — 172 с.
  • Парс Л. Аналитическая динамика = A Treatise on Analytical Dynamics. — М. : Наука, 1971. — 636 с.