Многочлени Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, Многочлени Бернуллімногочлени, названі на честь Якоба Бернуллі, що виникають при вивченні багатьох спеціальних функцій, зокрема ζ-функції Рімана і ζ-функції Гурвіца, також є окремим випадком послідовності Аппеля. На відміну від ортогональних многочленів, многочлени Бернуллі визначні тим, що число коренів в інтервалі не збільшується із зростанням степеня многочлена. При необмеженому збільшенні степеня, многочлени Бернуллі наближаються до тригонометричних функцій.

Визначення[ред.ред. код]

Многочлени Бернуллі можна визначити різними способами. Вибір визначення залежить від зручності в тому або іншому випадку.

Явна формула[ред.ред. код]

, де біноміальні коефіцієнти, числа Бернуллі.

Або

Генератриса[ред.ред. код]

Генератриса для многочленів Бернуллі рівна:

Представлення диференціальним оператором[ред.ред. код]

, где — оператор формального диференціювання.

Визначення за допомогою інтегрального оператора[ред.ред. код]

Многочлени Бернуллі є єдиними многочленами, що задовольняють рівняння

Інтегральний оператор

для многочленів f, приймає ті ж значення, що й

Явний вигляд для найменших степенів[ред.ред. код]

Многочленами Бернуллі для найменших степенів є:

Властивості[ред.ред. код]

Значення в нулі[ред.ред. код]

Значення многочленів Бернуллі при рівні відповідним числам Бернуллі:

.

Диференціювання і інтегрування[ред.ред. код]

.

Невизначені інтеграли:

Визначені інтеграли:

Множення аргументу[ред.ред. код]

.

Сума аргументу[ред.ред. код]

Симетрія[ред.ред. код]

Ряд Фур'є[ред.ред. код]

Ряди Фур'є для многочленів Бернуллі є також рядами Діріхле:

Цей розклад справедливий коли 0 ≤ x ≤ 1 для n ≥ 2 і у випадку 0 < x < 1 для n = 1.

Обертання[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.
  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.