Множина Сміта — Вольтерри — Кантора

Після видалення всіх чорних інтервалів білі точки утворюють ніде не щільну множину міри 1/2.

Множина Сміта — Вольтерри — Кантора (СВК, товста множина Кантора, $\varepsilon$-множина Кантора) — приклад множини точок на дійсній прямій $\mathbb {R}$, яка є ніде не щільною (зокрема не містить інтервалів) але має додатну міру. Як топологічний простір із успадкованою топологією із стандартної топології одиничного відрізка є гомеоморною класичній множині Кантора. Названо на честь математиків Генрі Сміта, Віто Вольтерри та Георга Кантора.

Побудова

Аналогічно побудові множини Кантора, множина Сміта — Вольтерри — Кантора будується шляхом видалення певних інтервалів з одиничного інтервалу $[0,1]$.

Процес починається з видалення відкритого інтервалу довжини ${\tfrac {1}{4}}$ із середини $[0,1]$, після чого одержується множина:

$[0,1]\setminus \left]{\frac {3}{8}},{\frac {5}{8}}\right[=\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right].$.

Під час наступних кроків видаляються підінтервали довжини $({\tfrac {1}{4}})^{n}$ із середини кожного із $2^{n-1}$ інтервалів, що залишилися після попереднього кроку. Зокрема на другому кроці видаляються інтервали $({\tfrac {5}{32}},{\tfrac {7}{32}})$ та $({\tfrac {25}{32}},{\tfrac {27}{32}})$, залишаючи:

$\left(\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\setminus \left]{\frac {5}{32}},{\frac {7}{32}}\right[\right)\cup \left(\left[{\frac {5}{8}},1\right]\setminus \left]{\frac {25}{32}},{\frac {27}{32}}\right[\right)=\left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right].$

Формально якщо позначити $S_{0}=[0,1]$ і множину після n-1 кроків як:

$S_{n-1}=\bigcup _{k=1}^{2^{n-1}}[a_{k},b_{k}]$

де:

$0=a_{1}<b_{1}<a_{2}<b_{2}<\dots <a_{2^{n-1}}<b_{2^{n-1}}=1,$

то після n-го кроку одержується множина:

$S_{n}:=\bigcup _{k=1}^{2^{n-1}}\left(\left[a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}-{\frac {1}{2^{2n+1}}}\right]\cup \left[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}+{\frac {1}{2^{2n+1}}},b_{k}\right]\right)$.

Результати перших п'яти ітерацій цього процесу зображені на малюнку:

Елементами множини Сміта — Вольтерри — Кантора є точки, що ніколи не вилучаються під час цього процесу, тобто належать усім $S_{n}.$ Іншими словами множина є рівною перетину $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }S_{n}$.

Властивості

Множина Сміта — Вольтерри — Кантора є перетином замкнутих множин $S_{n}$, а тому і сама є замкнутою множиною. Окрім того вона не містить інтервалів, а тому має порожню внутрішність, тобто є ніде не щільною множиною. Справді кожна множина $S_{n}$ є диз'юнктним об'єднанням $2^{n}$ замкнутих інтервалів довжина кожного із яких є меншою ${1 \over 2^{n}}$. Відповідно для довільного $\varepsilon >0$ для тих n для яких ${1 \over 2^{n}}<\varepsilon$ множина $S_{n}$ не може містити жодного відкритого інтервалу довжини $\varepsilon .$ Оскільки $\varepsilon$ є довільним, а множина Сміта — Вольтерри — Кантора є підмножиною будь-якої $S_{n}$, то вона не може містити відкритого інтервалу будь-якої довжини.

Кожна наступна ітерація в побудові множини видаляє пропорційно менше з інтервалів, що залишилися. Цей процес відрізняється від побудови множини Кантора , де пропорція частини, що видаляється, на кожному інтервалі залишається постійною. Тому множина Сміта — Вольтерри — Кантора має додатну міру, тоді як множина Кантора має міру нуль.

Детальніше, протягом процесу побудови множини з відрізка $[0,1]$ на n-му кроці видаляються $2^{n-1}$ інтервалів, довжина кожного із яких є рівною $({\tfrac {1}{4}})^{n}.$ Відповідно видаляються відрізки сумарною довжиною $({\tfrac {1}{2}})^{n+1}.$ Загалом множина усіх точок, що видаляються на якомусь кроці процесу є диз'юнктним об'єднанням зліченної кількості інтервалів. Відповідно вона, а також множина Сміта — Вольтерри — Кантора, яка є її доповненням є борелівськими множинами і для них існує міра Лебега. Зокрема із порахованої вище міри множини, що видаляється на кожному кроці і зліченної адитивності міри, загальна міра множини, що видаляється є рівною:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}$.

Відповідно і для її доповнення, тобто множини Сміта — Вольтерри — Кантора міра Лебега є рівною ${\tfrac {1}{2}}$.

Також множина Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом компактної множини, для якої міра Жордана є невизначеною. Внутрішня міра Жордана є рівною 0, адже множина не містить інтервалів. Зовнішня є рівною ${\tfrac {1}{2}}$ оскільки усі $S_{n}$ є покриттями скінченними кількостями інтервалів, сумарна довжина інтервалів для різних $S_{n}$ прямує зверху до ${\tfrac {1}{2}}$ і усі покриття множини Сміта — Вольтерри — Кантора скінченною кількістю замкнутих інтервалів містять зрештою якусь із $S_{n}$.

Відповідно характеристична функція множини Сміта — Вольтерри — Кантора є прикладом обмеженої функції, що не інтегрується за Ріманом на відрізку $(0,1)$ але для якої існує інтеграл Лебега (рівний ${\tfrac {1}{2}}$).

Узагальнення

У загальному випадку можна видалити $r_{b}$ з кожного підінтервалу на $n$-му кроці алгоритму. Одержана множина буде мати додатну міру тоді і тільки тоді, коли сума послідовності менша за міру вихідного інтервалу. Якщо припустити, що на кожній $n$-ій ітерації видаляється середина інтервалу довжини $(a)^{n}$, де $0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}$ (для $a>{\dfrac {1}{3}}$ побудова є неможливою), міра Лебега множини точок, що не видаляються є рівною:

$1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}=1-a{\dfrac {1}{1-2a}}={\dfrac {1-3a}{1-2a}}$.

Таким чином, множина буде мати додатну міру якщо $a<{\dfrac {1}{3}}.$

Прямий добуток множин Сміта — Вольтерри — Кантора може бути використаний для побудови цілком незв'язних множин нульової міри у просторах більш високих розмірностей. Застосовуючи теорему Данжуа — Ріса до двовимірних множин цього типу можна знайти жорданову криву, що має додатну площу.

Див. також

• Міра Жордана
• Міра Лебега
• Множина Кантора

Джерела

• Bressoud, David Marius (2003). Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function [Архівовано 23 листопада 2020 у Wayback Machine.]
• Smith, Henry J.S. (1874). "On the integration of discontinuous functions [Архівовано 7 лютого 2022 у Wayback Machine.]". Proceedings of the London Mathematical Society. First series. 6: 140–153