Множина розв'язків

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці множина розв'язків — це множина значень, які задовольняють заданому набору рівнянь або нерівностей.

Наприклад, для набору многочленів над кільцем , множина розв'язків є підмножиною на якій всі поліноми перетворюються на нуль, формально

Допустимий регіон задачі оптимізації з обмеженнями є множиною розв'язків обмежень.

Приклади

[ред. | ред. код]
  1. Множиною розв'язків єдиного рівняння є множина {0}.
  2. Для будь-якого ненульового многочлена над комплексними числами в одній змінній множина розв'язків складається зі скінченної кількості точок.
  3. Однак для комплексного полінома з більш ніж однією змінною множина розв'язків не має ізольованих точок.

Зауваження

[ред. | ред. код]

В алгебричній геометрії множини розв'язків називають алгебричними множинами, якщо немає нерівностей. Над дійсними числами і з нерівностями їх називають напівалгебричними множинами.

Інші значення

[ред. | ред. код]

Загальніше, множина розв'язків для довільної колекції E відношень (Ei) (i змінюється в деякому наборі індексів I) для набору невідомих , які мають набувати значень у відповідних просторах , — множина S всіх розв'язків відношень E, де розв'язок це сімейство значень таке, що підстановка замість у колекції E робить усі відношення істинними.

(Замість відношень, що залежать від невідомих, правильніше говорити про предикати, колекція E є їх логічною кон'юнкцією, а множина розв'язків є оберненим відображенням булевого значення істина за допомогою пов'язаної з ним логічної функції[en].)

Наведене вище визначення є окремим випадком цього, якщо множину поліномів fi інтерпретувати як множину рівнянь fi(x)=0.

Приклади

[ред. | ред. код]
  • Множиною розв'язків для E={x+y=0} при є .
  • Множиною розв'язків для E = {x+y=0} при є S={−y}. (Тут y не «оголошено» як невідоме, і тому його слід розглядати як параметр, від якого залежить рівняння, а отже, й множина розв'язків.)
  • Множиною розв'язків для при є інтервал S=[0,2] (оскільки не визначено для від'ємних значень x).
  • Множиною розв'язків для при є (див. тотожність Ейлера).

Див. також

[ред. | ред. код]
  • Розв'язування рівнянь
  • Сторонні та відсутні розв'язки[en]