Модель Дебая

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Статистична фізика
Термодинаміка
Кінетична теорія

У термодинаміці і фізиці твердого тіла модель Дебая — метод, розвинений Дебаєм в 1912 р. для оцінки фононного внеску до теплоємності твердого тіла. Модель Дебая розглядає коливання кристалічної ґратки як газ квазічастинок (фононів) у ящику, на відміну від моделі Ейнштейна, яка інтерпретує тверде тіло як набір багатьох окремих невзаємодіючих квантових гармонічних осциляторів). Ця модель точніше передбачає залежність теплоємності за низьких температур як такої, що пропорційна  — так званий закон Дебая. У граничному випадку високих температур величина теплоємності за моделлю Дебая збігається з результатом моделі Ейнштейна, прямуючи до , відповідно до закону Дюлонга — Пті. Однак за проміжних температур точність моделі Дебая зменшується внаслідок її певних спрощувальних припущень.

Молярна теплоємність твердого тіла в теорії Дебая[ред. | ред. код]

У моделі Дебая враховано, що теплоємність твердого тіла це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, що збуджуються в твердому тілі елементарними осциляторами, не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями [1]. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеду з ребрами a, b, c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:

n1·λx/2=a; (1)

n2·λy/2=b; (2)

n3·λz/2=c; (3)

(n1, n2, n3 — цілі числа)

Перейдемо до простору, побудованого на хвильових векторах. Оскільки

K=2π/λ, (4)

то

Kx=2π/λx=π·n1/a; (5)

Ky=2π/λy=π·n2/b; (6)

Kz=2π/λz=π·n3/c (7)

Таким чином, у твердому тілі можуть існувати осцилятори, з частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятору в К-просторі відповідає комірка з об'ємом

τ=∆Kx·∆Ky·∆Kz=, (8)

де

∆Kx=π/a; (9)

∆Ky=π/b; (10)

∆Kz=π/c (11)

В к-просторі осциляторам з частотами в інтервалі (ω, ω+dω) відповідає один октант сферичного шару з об'ємом

dVk=4πK2dK/8=πK2dK/2 (12)

В цьому об'ємі кількість осциляторів дорівнює

dNk=dVk/τ= (13)

Врахуємо, що кожен осцилятор генерує 3 хвилі: 2 поперечні та одну поздовжню. При цьому

K||=ω/v||, (14)

K=ω/v (15)

Знайдемо внутрішню енергію одного молю твердого тіла . Для цього обчислимо кількість коливань, що відповідають поздовжнім і поперечним хвилям.

(16)

(17)

(18)

(19)

Тому дорівнює

(20)

де <є> — середня енергія квантового осцилятора (див. модель Ейнштейна).

Коливання у твердому тілі обмежені максимальним значенням частоти . Визначимо граничну частоту з умови:

(21)

(22)

Звідси:

(23)

Кв — постійна Больцмана.

Na — число Авогадро.

В останньому виразі зробимо наступну заміну змінних:

; (24)

; (25)

; (26)

(27)

Θ — температура Дебая

Тепер для UM отримуємо

(28)

Нарешті для молярної теплоємності отримуємо

C=dUM/dT=3R (29)

Легко перевірити, що за умови T→∞

C→3R, (30)

а за умови T→0

C→~T3 (31)

Таким чином, теорія Дебая відповідає результатам дослідів.

Інтеграл Бозе-Ейнштейна[ред. | ред. код]

Обчислимо для повноти викладу визначений інтеграл

(32)

Позначимо

(33)

Можна показати, що

(34)

Аналогічно

(35)

При збільшенні кількості доданків до нескінченності отримуємо

(36)

Знайдемо суму ряду з використанням теореми Парсеваля. Для цього розкладемо функцію

(37)

в ряд Фур'є на інтервалі . Коефіцієнти розкладу дорівнюють

(38)

(39)

Таким чином

(40)

і

(41)

Згідно теореми Парсеваля

(42)

Спрощуючи останній вираз, отримуємо остаточно

(43)

Література[ред. | ред. код]

  • Погорєлов В. Є., Слободянюк О. В., Єщенко О. А., Конділенко О. І., Шутов Б. М. Фізичний практикум (Частина II. Молекулярна Фізика). — К. : ВПЦ "Київський університет", 2004. — 120 с.
  • Пінкевич І. П., Сугаков В. Й. Теорія твердого тіла. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2006. — 333 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М. : Наука, 1978. — 792 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.