Модульна арифметика
Мо́дульна арифме́тика — це система арифметики цілих чисел, в якій числа «обертаються навколо» деякого значення — модуля.
Найбільш відомий приклад модульної арифметики — це запис часу в 12-годинному форматі, в якому день ділиться на два 12-годинних періоди. Якщо зараз 9:00, то через 4 години на годиннику буде 1:00. Якщо просто додати, то 9 + 4 = 13, але це неправильна відповідь, тому що на годиннику по досягненні стрілки 12-ї години, замість 12:00 ми отримуємо 00:00. Тому правильна відповідь, що на годиннику буде 1:00.
Аналогічним чином, якщо годинник починає відлік о 12:00 (опівдні) і пройде 21 година, то час буде 9:00 наступного дня, а не 33:00. Оскільки годинник починає новий відлік часу після досягнення 12, то це буде арифметика за модулем 12. 12 відповідає не тільки значенню 12, але також і 0, так що час, який називається «12:00», також може бути названий «0:00», оскільки 0 ≡ 12 mod 12.
Ще один підхід до модульної арифметики пов'язаний з остачами від ділення цілих чисел на певне задане натуральне число. Фактично в ній розглядаються класи еквівалентності певного натурального числа.
У сучасному вигляді модульна арифметика була розвинута Гауссом в Disquisitiones Arithmeticae (1801).
Два цілих числа a і b називаються рівними (конгруентними) за модулем n, якщо при цілочисельному діленні на n вони мають однакові остачі. Рівність чисел a і b за модулем n записують так:
Еквівалентні визначення:
- Різниця a − b ділиться на n націло. Тобто a − b = kn, де k — якесь ціле число.
- Число a може бути записано у вигляді a = b + kn, де k — якесь ціле число.
Наприклад:
Справді, 15 − 4 = 11 і 11 очевидно ділиться на 11.
Маємо 16 − 37 = −21 і −21 ділиться на 7 націло.
У цьому разі 16−(−5)=16+5=21 і 21 ділиться на 7.
Властивості, що виконуються для відношення рівності, виконуються також для рівності за модулем.
Якщо та , тоді:
- Справді нехай
- Тоді і
- Також і
- У випадку добутку і .
- В усіх трьох випадках бачимо, що остаточні вирази рівні.
З визначення рівності за модулем витікають такі властивості:
- рефлексивність
- симетричність
- транзитивність: якщо та , то також
Тобто відношення рівності за модулем є відношенням еквівалентності на множині цілих чисел . Тоді розбивається на класи еквівалентності.
Клас еквівалентності відношення рівності за модулем n до якого належить число a позначається .
Оскільки, , то додати n, теж саме, що і додати 0. Тому клас числа
Для прикладу, розглянемо відношення по модулю 2. , тоді і тільки тоді, коли їх різниця парне число. Це співвідношення призводить до двох класів еквівалентності: один клас, що складається з усіх парних чисел, та другий, який складається з усіх непарних чисел. Клас парних чисел позначається, як [0], непарних як [1]. Згідно з цим співвідношенням 8, 10 та 118 належать одному класу — .
Множина класів конгруентності за модулем позначається: (або, чи ) і за визначенням це:
Коли n ≠ 0, має n елементів, і може бути записано:
Для цих класів можна задати операції додавання, віднімання, множення:
Обґрунтованість цих означень випливає із властивостей попереднього розділу.
Таким чином є комутативним кільцем. Наприклад в , маємо
Деякий елемент має обернений елемент тоді й лише тоді коли m i n є взаємно простими числами. Справді, якщо m i n є взаємно простими, то тоді існують такі, що Звідси:
- і як наслідок
Навпаки, якщо для деякого , то для деякого , що неможливо, враховуючи взаємну простоту m i n.
Відповідно, якщо просте число, то є полем.
Лінійне рівняння записується у вигляді
Розв'язок можна отримати безпосередньо діленням або за допомогою формули
- якщо НСД тобто взаємно прості числа.
Функція — функція Ейлера, яка дорівнює кількості натуральних чисел, не більших n і взаємно простих з ним.
Якщо НСД , порівняння або має не єдиний розв'язок, або не має розв'язків. Як легко побачити, порівняння
не має розв'язків на множині натуральних чисел.
Інше порівняння
має два розв'язки
- Дрозд Ю. А. (1997). Теорія алгебричних чисел (PDF). Київ: РВЦ “Київський університет„. с. 82. ISBN 966-594-019-8. (укр.)
- Виноградов И. М., Основы теории чисел [Архівовано 17 грудня 2004 у Wayback Machine.], М.: ГИТТЛ, 1952.
- Виленкин Н. Я., Сравнения и классы вычетов [Архівовано 4 листопада 2007 у Wayback Machine.], Квант, № 10, 1978.